2022-2022学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（ ） A．AB．AC．CAD．CA考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，从而得出结论．解答：解：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，故选A．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 2．（5分）曲线在点（1，）处切线的倾斜角为（ ） A．1B．45°C．﹣45°D．135°考点：直线的倾斜角．分析：本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．解答：解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选D点评：要计算曲线切线的倾斜角，其步骤为：①求出曲线方程的导函数②求出切点处的导数，即切线的斜率③根据斜率与倾斜角的关系，求出直线的倾斜角． 3．（5分）（2022•中山模拟）函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（ ）13\n A．B．﹣1C．0D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决．解答：解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=﹣1．故选B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题． 4．（5分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（ ） A．252种B．112种C．70种D．56种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）．故选B．点评：本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏． 5．（5分）等于（ ） A．0B．1C．2D．4考点：定积分．专题：计算题．分析：先根据对称性，只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求．解答：解：∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx）|0π=2（1+1）=4故选：D点评：13\n本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 6．（5分）函数y=1+3x﹣x3有（ ） A．极小值﹣2，极大值2B．极小值﹣2，极大值3 C．极小值﹣1，极大值1D．极小值﹣1，极大值3考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：求出导函数，令导函数为0求根，判根左右两边的符号，据极值定义求出极值．解答：解：y′=3﹣3x2=3（1+x）（1﹣x）．令y′=0得x1=﹣1，x2=1．当x＜﹣1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数；当﹣1＜x＜1时，y′＞0，函数y=1+3x﹣x3是增函数；当x＞1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数．∴当x=﹣1时，函数y=1+3x﹣x3有极小值﹣1；当x=1时，函数y=1+3x﹣x3有极大值3．故选项为D点评：判断导函数为0的根左右两边的符号：符号左边为正右边为负的根为极大值；符号左边为负右边为正的根为极小值． 7．（5分）二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系为（ ） A．24B．18C．16D．6考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是•2=8，求得n的值，可得它的第三项的二项式系数的值．解答：解：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是•2=8，∴n=4，故它的第三项的二项式系为=6，故选D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 8．（5分）（2022•浙江）已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且是实数，则实数t=（ ） A．B．C．D．13\n考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型；计算题．分析：化简的式子，该式子表示实数时，根据虚部等于0，解出实数t．解答：解：∵=（3+4i）（t+i）=3t﹣4+（3+4t）i是实数，∴3+4t=0，t=﹣．故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘法，复数为实数的充要条件是虚部等于0． 9．（5分）（2022•开封二模）若的展开式中x3的系数为，则常数a的值为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为，求得实数a的值．解答：解：由于的展开式的通项公式为Tr+1=••=•a9﹣r••，令﹣9=3，可得r=8，故展开式中x3的系数为•a•=，∴a=4，故选D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 10．（5分）若An3=6Cn4，则n的值为（ ） A．6B．7C．8D．9考点：组合及组合数公式；排列数公式的推导．专题：计算题．分析：由An3=6Cn4，利用排列数公式和组合数公式，把原式等价转化为n（n﹣1）（n﹣2）=6×，由此能求出n的值．解答：解：∵An3=6Cn4，13\n∴n（n﹣1）（n﹣2）=6×，整理，得n﹣3=4，∴n=7．故选B．点评：本题考查排列数公式和组合数公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 11．（5分）函数y=sin（2x2+x）导数是（ ） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）考点：简单复合函数的导数．分析：设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解答：解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用． 12．（5分）从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（ ）种． A．36B．72C．90D．144考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果．解答：解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种，故选A．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 二、填空题（每小题4分，共16分．）13．（4分）曲线y=lnx在点M（e，1）处的切线的斜率是
，切线的方程为
x﹣ey=0 ．13\n考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出曲线的导函数，把切点的横坐标e代入即可求出切线的斜率，然后根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：y′=，切点为M（e，1），则切线的斜率k=，切线方程为：y﹣1=（y﹣e）化简得：x﹣ey=0故答案为：，x﹣ey=0点评：考查学生会根据导函数求切线的斜率，会根据斜率和切点写出切线方程． 14．（4分）若，则实数k的值为 ﹣1 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求k的值，只须求出函数x﹣k的定积分值即可，故先利用导数求出x﹣k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值．解答：解：∵∫01（x﹣k）dx=（x2﹣kx）|01=﹣k．由题意得：﹣k=，∴k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本小题主要考查定积分的简单应用、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 15．（4分）从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 34 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，由此求得选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法．13\n解答：解：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，故选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法共有35﹣1=34种，故答案为34．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 16．（4分）函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是 考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．解答：解：∵y=x3+x2﹣5x﹣5∴y'=3x2+2x﹣5令y'=3x2+2x﹣5＞0解得：x＜﹣，x＞1故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题． 三、解答题（本大题共6小题，共44分．）17．（8分）已知z=1+i．（1）设ω=z2+3﹣4，求ω的三角形式；（2）如果，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：（1）把复数的具体形式代入所给的z2+3﹣4，根据乘方和共轭复数，算出ω的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式．（2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可．解答：解：（1）由z=1+i，有ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3﹣4=2i+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，ω的三角形式是．（2）由z=1+i，有===（a+2）﹣（a+b）i13\n由题设条件知（a+2）﹣（a+b）i=1﹣i．根据复数相等的定义，得解得点评：本小题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力．是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错． 18．（12分）已知在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，求：（1）n的值；（2）展开式中x5的系数；（3）含x的整数次幂的项的个数．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为T9=28﹣n••x2n﹣20，故有2n﹣20=0，由此解得n=10．（2）由（1）可得展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）r•2r﹣10••．令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x5的系数．（3）由20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，从而得到含x的整数次幂的项的个数．解答：解：（1）在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为T9=•28﹣n•x2n﹣16•x﹣4=28﹣n••x2n﹣20，故有2n﹣20=0，解得n=10．（2）由（1）可得展开式的通项公式为Tr+1=•2r﹣10•x20﹣2r•（﹣1）r•=（﹣1）r•2r﹣10••．令20﹣=5，求得r=6，故展开式中x5的系数为•=．（3）由20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5．点评：13\n本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 19．（12分）微山县第一中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．解答：解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为
ξ012Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）==点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键． 20．（12分）当n∈N*时，，（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．13\n考点：数学归纳法；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（II）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．解答：解：（I）∵当n∈N*时，，Tn=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（2分）（II）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）（5分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S1=T1（6分）②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）则：Sk+1=Sk+﹣=Tk+﹣（10分）=+++…++﹣（11分）=++…+++（﹣）=++…++=Tk+1，由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力． 21．（15分）（2022•花都区模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．（3）求二面角C1﹣AB﹣C的正切值．13\n考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证AC⊥BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，可先证AC⊥平面BCC1B1，而AC⊥BC，AC⊥CC1，且BC∩CC1=C，满足定理所需条件；（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，满足定理条件；（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C1F，根据二面角平面角的定义可知∠C1FC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角，在直角三角形C1FC中求出此角的正切值即可．解答：证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，（1分）又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中AC⊥CC1，且BC∩CC1=CBC∩CC1⊂平面BCC1B1∴AC⊥平面BCC1B1而BC1⊂平面BCC1B1∴AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，（5分）∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，（7分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（8分）（3）解：过点C作CF⊥AB于F，连接C1F（9分）由已知C1C垂直平面ABC，则∠C1FC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角（11分）在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=（12分）又CC1=AA1=4∴tan∠C1FC=（13分）∴二面角C1﹣AB﹣C的正切值为（14分）13\n点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题． 22．（15分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∝]内调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（3）对于函数g（x）=（p﹣x）e﹣x+1，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥lnx0成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）求出f′（x）因为f（x）在区间[1，+∞]内调递增令f′（x）≥0得到a的取值范围；（2）a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，所以f（x）在[1，e]上为增函数，所以求出f（x）的最小值f（1）；在当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数，所以求出最小值f（e）；在时，最小值为f（）．把最小值综合起来即可；（3）把x=x0代入到g（x）=（p﹣x）e﹣x+1中得到g（x0），然后设h（x）=（lnx﹣1）ex+x，求出其导函数h′（x）并证明其大于零得到函数是增函数，则最小值为h（1），得到p≥h（1）．解答：解：（1）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即上恒成立又∵当，13\n∴a≥1．即a的取值范围为[1，+∞）（2）当a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为增函数∴f（x）min=f（1）=0①当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数∴②当时，令又∵，∴综上，f（x）在[1，e]上的最小值为①当时，；②当时，③当a≥1时，f（x）min=0（3）因为x0∈[1，e]，所以，存在x0∈[1，e]使成立，令h（x）=（lnx﹣1）ex+x，从而p≥hmin（x）（x∈[1，e]）由（2）知当a≥1时，成立，即在[1，e]上成立．从而，所以，h（x）=（lnx﹣1）ex+x在[1，e]上单调递增．所以，hmin（x）=h（1）=1﹣e所以，p≥1﹣e点评：此题考查学生导数研究函数单调性的能力，恒等式成立的问题解决能力，以及利用导数求闭区间上的最值的能力． 13
