汶上一中2022-2022学年高二下学期期中检测数学（理）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为()A．B．C．D．2．已知为全集,,,则是A.B.C.D.3．设函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是()A．2.1B.0.21C.1.21D.12.14.在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为（）A.1－B.C.1－D.5．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于()A．1B．C．D．APB6．函数f(x)=sinx+x在上的最大值为()A．0B.2C.D.7.如图，是平面的斜线段，为斜足。若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C、一条直线D.两条平行直线8．函数f(x)的定义域为R，，对任意x∈，，则f(x)>2x+4的解集为()A.（一1，1）B.（一1，）C.（一∞，一1）D.（一∞，+∞）9.在上可导的函数的图形如图所示，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.-8-\n10.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围为（）A.B.C.D.11．给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔分钟抽取一件产品进行某项指标的检测，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A．①④B．②④C．①③D．②③12．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是()A．B．C．D．二、填空题：（每小题4分，共16分.）13.展开式中含项的系数等于．14.已知随机变量服从正态分布，，则15.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________种(用数字作答).16．如图，为区间上的等分点，直线，，和曲线所围成的区域为，图中个矩形构成的阴影区域为，在中任取一点，则该点取自的概率等于________．三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）-8-\n已知矩阵（1）求逆矩阵；(2)求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.18.（本小题满分12分）设数列的前项和为，.(1)求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；(2)设数列的前项和为，证明：19.（本小题满分12分）口袋中有大小、质地均相同的7个球，3个红球，4个黑球，现在从中任取3个球。(1)求取出的球颜色相同的概率；(2)若取出的红球数设为，求随机变量的分布列和数学期望。20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点。（1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值。-8-\n21.（本小题满分12分）已知函数，其中。（1）若函数有极值，求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；22.（本小题满分12分）规定，其中，为正整数，且，这是排列数(是正整数，且)的一种推广．（1）求的值；（2）排列数的两个性质：①，②(其中是正整数)．是否都能推广到(，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数的单调区间．-8-\n参考答案：1-5DBADC6-10DBBAD11-12DB13．32；14．0.4；15．91；16．17．解:（1）(2)矩阵的特征多项式为，令，解得,当时，得,当时，得.18.(1)证明：由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列。于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．(2)证明：Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝<＝又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，于是，≤Tn<19．解：（1）设“取出的球颜色相同”为事件所以取出的球颜色相同的概率为（2）的可能取值为0，1，2，3-8-\n的分布列为0123P20．（1）由，椭圆的方程为：（2）由已知，联立和，消去，整理可得：，设，则，当且仅当时取等号显然时，。21．（1），①当时，，单调递减，且无极值②当时，令，得，当变化时，与的变化情况如下：↘↗-8-\n极小值在时有极小值，（2），在时恒成立①当时，恒成立②当时，等价于在时恒成立，令，则在时为增函数，，即综上所述，（3）由（2）知，当时，在时为增函数当时，，令，，又即22．解：（1）；（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①，②．证明：在①中，当时，左边，右边，等式成立；当时，左边右边左边=右边即当时，等式成立因此①成立在②中，当时，左边右边，等式成立；当时，左边-8-\n右边，因此②成立．（3）先求导数，得．令，解得或．因此，当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数，令，解得，因此，当时，函数为减函数，函数的增区间为，；减区间为．-8-
