中山市高二级2022-2022学年第二学期期末统一考试理科注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不可以使用计算器.参考公式：回归直线，其中一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、复数的共轭复数是（）A.B.C.D.2、由直线与圆相切时，圆心到切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，这种思维方式是（）A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.其他推理3、已知平面内A、B、C、D四点，任意三点不在同一直线上，则连接任意两点的所有向量的个数为（）A.6B.12C.24D.484、在独立性检验中，统计量有两个临界值：3.841和6.635；当时，有95%的把握说明这两个事件有关，当时，有99%的把握说明这两个事件有关，当时，认为这两个事件无关。在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算，，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（)A.有95%的把握认为两者有关B.约有95%的打鼾者患心脏病C.有95%的把握认为两者有关D.约有99%的打鼾者患心脏病5、用火材棒摆“金鱼”，如图所示：11\n按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火材棒的根数为（）A.8n-2B.8n+2C.6n-2D.6n+26、函数的单调增区间是（）A.B.C.D.7、设展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式中的系数是（）A.B.1C.12D.818、设一汽车在前进途中经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数。则停车时最多已经通过2个路口的概率是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）（一）必做题（9～13题）9、设，则______。10、一物体在力（力的单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：m），则力所作的功为______。11、若，且则=_______。12、教材上一例问题如下：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y与x之间的回归方程。温度x/℃21232527293235产卵数y/个71121246611532511\n某同学利用智能手机上的Mathstudio软件研究它时（如上图所示），分别采用四种模型，所得结果如下：①②③④⑤模型计算结果根据上表，易知当选择序号为________的模型是，拟合效果较好。13、有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池，截去的小正方形的边长x为_____m时，蓄水池的容积最大。（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题得分为最后得分）14、（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线的交点的极坐标为_______。15、（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于________。三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16、（13分）通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如下表所示：资金投入x23456利润y23569（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（2）计算x=-6时的残差；（残差公式）（3）现投入资金10万元，求估计获得的利润为多少万元。11\n17、（13分）已知复数满足，的虚部为2,。（1）求；（2）设，，在复平面对应的点分别为A,B,C，求∠ABC的余弦值。18、（13分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。先从盒子中任取2个球（假设取到每个球的可能性相同），设取到两个球的编号之和为。（1）求随机变量的分布列；（2）求两个球编号之和大于6的概率。11\n19、（14分）已知直线，与抛物线交于两点，轴交于点（1）求证：；（2）求直线与抛物线所围平面图形的面积；（3）某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线与抛物线的方程，发现的结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？11\n20、（13分）若。（1）求证：；（2）令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；（3）证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，求出公比q的值。11\n21、（14分）设函数，其中。（1）计算；（2）若为函数的一个极值点，求的单调区间；（3）设M表示与两个数中的最大值，求证：当时，。中山市高二级2022—2022学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：ACBCDCBB二、填空题：9.；10.20J；11.；12.④；13.1；14．.15．5（1）解答题：20、（1）...........2分，.....5分。..........6分11\n回归直线方程为。........7分19、，.........8分。...............9分（3）（万元）。............13分17、（1）设，。..........1分则，.........2分所以。..........3分.........4分（2）当时，，。.......5分则A（1,1），B（0,2），C（1，-1）。AB=,AC=2，BC=，Cos∠ABC，............9分当，，，.......10分则A（-1,-1），B（0,2），C（-1，-3）。AB=,AC=2，BC=，Cos∠ABC。................13分A.的取值为2,3,4,6,7,10...........1分,,,,,........7分的分布列为2346710P....................9分11\n（2）。.............13分4、（1），解得............2分不妨设,对于直线l，令y=0，得............3分左边=，右边=，左边=右边，原命题得证。.............4分（2）........7分（3）结论：已知直线，与抛物线交于两点，轴交于点则。.......9分证明：，，..........11分对于直线l，令y=0，得。.......12分左边=，右边=，左边=右边，原命题得证。.................14分20、（1）假设，则.............1分这显然与条件产生矛盾，假设不成立。所以。......................2分17、，，，。..................6分。...................7分（3）11\n....................7分（k是常数）............9分整理得：................10分所以................12分所以存在p=-1，公比q=。...................13分21、（1）....................2分(2)由=0，得a=b．…………………………………………………………3分故f(x)=ax3－2ax2+ax+c．由=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．………………………4分列表：x(-∞，)(，1)1(1，+∞)+0-0+f(x)增极大值减极小值增由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞)．……6分(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3．①当时，则在上是单调函数，所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．所以||≤．………………………………………8分②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．(i)当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．所以＝＝≥＞0．所以||≤．………………………………11分11\n(ii)当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2－＜0．所以=＞＞0，即＞．所以||≤．综上所述：当0≤x≤1时，||≤．……………14分11
