2022-2022学年广东省广州市越秀区高三（上）7月摸底数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∩B=()A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣2，3，4}D．{2，3，4}2．已知b是实数，若是纯虚数，则b=()A．2B．﹣2C．D．3．sin165°•sin75°+sin105°•sin15°的值是()A．0B．﹣C．1D．4．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是()A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣25．已知p：“”，q：“直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切”，则p是q的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件6．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形-30-7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．188．给出如图的程序框图，那么输出的数是()A．2450B．2550C．4900D．50509．在边长为1的等边△ABC中，设=，=，=，则•﹣•+•=()A．B．﹣C．D．﹣-30-10．已知椭圆与双曲线（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共交点．则|PF1|•|PF2|的值是()A．p2﹣m2B．p﹣mC．m﹣pD．m2﹣p211．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．B．C．D．12．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=()A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件（a，b）．记“在这些基本事件中，满足logba≥1为事件A，则A发生的概率是__________．14．已知函数若f（f（1））＞3a2，则a的取值范围是__________．15．设x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为__________．-30-16．若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn．18．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．-30-19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）若AB=1，求四棱锥C﹣ABED的体积．20．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．21．设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若函数g（x）=exf（x）在上是单调减函数，求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时，请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．如图，以△ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AE⊥BC于E，AE交圆O于点G，交BD于点F．（Ⅰ）证明：△FBE∽△CAE；-30-（Ⅱ）证明：GE2=EF•EA．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）（2）若点P是曲线C3上一动点，求点P到曲线C1的最短距离．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=1，证明：（Ⅰ）（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）（ac+bd）（bc+ad）≥cd．25．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（Ⅰ）画出散点图；-30-（Ⅱ）求回归直线方程；（参考数据：=145，=13500，=1380）（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？-30-2022-2022学年广东省广州市越秀区高三（上）7月摸底数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∩B=()A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣2，3，4}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，即B={x|x＜﹣1或x＞2}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∩B={﹣2，3，4}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知b是实数，若是纯虚数，则b=()A．2B．﹣2C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵==是纯虚数，则b=，解得b=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了计算能力，属于基础题．-30-3．sin165°•sin75°+sin105°•sin15°的值是()A．0B．﹣C．1D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简后，根据二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数公式即可得解．【解答】解：sin165°•sin75°+sin105°•sin15°=sin15°cos15°+sin15°cos15°=sin30°=．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数公式的应用，属于基础题．4．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是()A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选D．【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．5．已知p：“”，q：“直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切”，则p是q的()-30-A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a等于时，把a的值代入圆的方程中，找出圆心坐标和圆的半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y=0的距离d，发现d等于圆的半径r，进而得到直线与圆的位置关系是相切；而当直线x+y=0与圆相切时，由圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心（0，a）到直线x+y=0的距离d，让d等于圆的半径1列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值为两个值，综上，得到p是q的充分非必要条件．【解答】解：当a=时，圆的方程为：x2+（y﹣）2=1，则圆心坐标为（0，），半径r=1，所以圆心到直线x+y=0的距离d==1=r，则直线与圆的位置关系是相切；而当直线与圆的位置关系相切时，圆心坐标为（0，a），半径r=1，则圆心到直线AB的距离d==1，解得a=±，所以p是q的充分非必要条件．故选A【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握必要、充分及充要条件的判断方法，是一道中档题．6．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．-30-【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C【点评】本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．-30-8．给出如图的程序框图，那么输出的数是()A．2450B．2550C．4900D．5050【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】首先根据程序框图，分析sum求和问题，然后根据等差数列求和问题求解s．最后输出s的值．【解答】解：根据题意，按照程序框图进行运算：s=0i=2s=2i=4s=6i=6s=12i=8…i=100s=2+4+6+10+…+98s为首项为2，末项为98的等差数列∴s=2450故选：A．-30-【点评】本题考查程序框图，等差数列的通项公式，以及等差数列求和问题，通过程序框图转化为数列问题，属于基础题．9．在边长为1的等边△ABC中，设=，=，=，则•﹣•+•=()A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量数量积定义即可得出．【解答】解：如图所示，==﹣1×1×cos60°=﹣，同理可得：=﹣=，∴•﹣•+•=﹣．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积定义的应用、向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知椭圆与双曲线（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共交点．则|PF1|•|PF2|的值是()A．p2﹣m2B．p﹣mC．m﹣pD．m2﹣p2【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同可求得m﹣n=p+q，整理可得m﹣p=n+q，进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义-30-不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=2|PF1|﹣|PF2|=2所以|PF1|=+|PF2|=﹣∴|pF1|•|pF2|=m﹣p∵焦点相同c2=m﹣n=p+q∴m﹣p=n+q所以|pF1|•|pF2|=m﹣p或n+q故选C【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆和双曲线的简单性质．考查了学生的综合运用所学知识解决问题的能力．11．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．B．C．D．【考点】抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．【解答】解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．-30-∴﹣1≤k≤1，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．12．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=()A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分-30-13．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件（a，b）．记“在这些基本事件中，满足logba≥1为事件A，则A发生的概率是．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】先求出基本事件的总数，然后例举出满足logba≥1的基本事件，最后根据古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由已知得基本事件（a，b）共有4×3=12（个）满足logba≥1，即a≥b＞1的基本事件有（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，2）共5个，故．故答案为：【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，以及古典概型的概率公式，属于基础题．14．已知函数若f（f（1））＞3a2，则a的取值范围是﹣1＜a＜3．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由1＜2，故应代入f（x）=2x+1式求函数的值得出f（1）=3，再求f（3）的值即可得到f（f（1）），原不等式转化为关于a的一元二次不等式，最后解此不等式即得的取值范围．【解答】解：f（1）=21+1=3，∴f（f（1））=f（3）=32+6a∴f（f（1））＞3a2，得到：9+6a＞3a2，解之得：﹣1＜a＜3故答案为：﹣1＜a＜3．-30-【点评】本题主要考查了分段函数及一元二次不等式的解法，属于基础题．解答此类题的规律是分段函数一定要分段处理．15．设x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为5．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：B（2，1），化z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过B（2，1）时z有最大值为3×2﹣1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．-30-【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=ax﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．故答案为：（1，+∞）【点评】作出图象，数形结合，事半功倍．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn．【考点】等差关系的确定；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意知，，所以数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．（2）由题设条件知，，运用错位相减法可求出数列{cn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）由题意知，-30-∵∴∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列（2）由（1）知，∴∴，于是两式相减得=．∴【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意错位相减法的应用，仔细解答．18．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计-30-（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）完成频率分布表如下：分组频数频率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合计2001（2）完成频率分布直方图如下：-30-（3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65（4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）若AB=1，求四棱锥C﹣ABED的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面BCE内一直线平行即可，而AF∥BG，满足定理；（Ⅱ）证明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可证明平面BCE⊥平面CDE；-30-（Ⅲ）取AD中点M，连接CM，而CM⊥平面ABED，则CM为四棱锥C﹣ADEB的高，根据体积公式V=CM•SABED求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE；（Ⅱ）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）解：取AD中点M，连接CM，∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，∵DE⊥平面ACD，且DE⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，∴CM为四棱锥C﹣ADEB的高，∴V=CM•SABED=AF•SABED=．-30-【点评】本小题主要考查直线与平面平行，平面与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．20．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）根据椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，可得c=2，利用与椭圆有相同的离心率，可求得a=，进而可得b=2，故可求椭圆的标准方程．（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立可得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0，利用韦达定理有x1+x2=，x1x2=，要使右焦点F在圆内部，则有＜0，用坐标表示可得不等式，从而可求出k的范围．【解答】解：（1）∵焦距为4，∴c=2…又∵的离心率为…-30-∴，∴a=，b=2…∴标准方程为…（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0…∴x1+x2=，x1x2=由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0…∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＜0即x1x2﹣2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0…∴＜0…∴k＜…经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（﹣∞，）…（13分）【点评】本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量与解析几何的连续，由较强的综合性，解题的关键是将右焦点F在圆内部，转化为＜021．设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若函数g（x）=exf（x）在上是单调减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）由条件“x=2是函数y=f（x）的极值点”可知f'（2）=0，解出a，需要验证在x=2处附近的导数符号有无改变；（2）由在上是单调减函数可转化成在上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a﹣2）=0，-30-所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．即a=1．（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3﹣3x2+3ax2﹣6x），又ex＞0，所以，∀x∈（0，2]，ax3﹣3x2+3ax2﹣6x≤0，这等价于，不等式对x∈（0，2]恒成立．令（x∈（0，2]），则，所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，所以h（x）的最小值为．所以．即实数a的取值范围为．（13分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时，请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．如图，以△ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AE⊥BC于E，AE交圆O于点G，交BD于点F．（Ⅰ）证明：△FBE∽△CAE；（Ⅱ）证明：GE2=EF•EA．-30-【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明两组对应角相等，即可证明：△FBE∽△CAE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，BE•EC=EF•EA，利用射影定理得，GE2=BE•EC，即可证明：GE2=EF•EA．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，∴∠BEF=∠AEC=90°…2分∵BC为直径，∴∠BDC=90°∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°∴∠FBE=∠CAE…4分∴△FBE∽△CAE；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴BE•EC=EF•EA…7分连接BG和CG，∵BC是直径，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，由射影定理得，GE2=BE•EC…9分∴GE2=EF•EA．…10分．-30-【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）（2）若点P是曲线C3上一动点，求点P到曲线C1的最短距离．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接根据参数方程和普通方程互化公式进行处理、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；（2）首先，求解圆心到直线的距离，然后，该距离去掉半径即为所求．【解答】解：根据曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），得y=，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴x2+y2=2y，-30-联立方程组，∴或，它们图象的交点为：（0，0），（，），对应的极坐标为（0，0），（，），（2）曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0，对应的直角坐标方程为：x2+y2﹣6x+8=0，∴（x﹣3）2+y2=1，故圆心为（3，0），半径为r=1，圆心（3，0）到直线y=x的距离为d=，∴点P到曲线C1的最短距离．【点评】本题重点考查了极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化公式等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=1，证明：（Ⅰ）（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）（ac+bd）（bc+ad）≥cd．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）将1=a+b代入，可得（1+）（1+）=（1+）（1+）=（1+1+）（1+1+），由三元均值不等式，即可得证；（Ⅱ）a，b，c，d均为正数，则ac，bd，bc，ad也均为正数，即有（ac+bd）（bc+ad）=（（）2+（）2）（（）2+（）2），由柯西不等式，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）∵a，b，c，d均为正数，且a+b=1，-30-∴（1+）（1+）=（1+）（1+）=（1+1+）（1+1+）≥（3•）（3•）=9，∴（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）∵a，b，c，d均为正数，∴ac，bd，bc，ad也均为正数，∴（ac+bd）（bc+ad）=（（）2+（）2）（（）2+（）2）≥（（•）+（•））2=cd（a+b）2∵a+b=1，∴（ac+bd）（bc+ad）≥cd．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和柯西不等式，考查推理能力，属于中档题．25．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（Ⅰ）画出散点图；（Ⅱ）求回归直线方程；（参考数据：=145，=13500，=1380）（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据表中数据描点即可得到散点图．（Ⅱ）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．（Ⅲ）将x=10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额【解答】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：-30-…3分（Ⅱ）∵=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+60+50+70）=50.=145，=1380，∴==6.5，=50﹣6.5×5=17.5，…8分因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5；（Ⅲ）由上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，=6.5×10+17.5=82.5（万元）即这种产品的销售收入大约为82.5万元．…12分．【点评】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，难度不大，注意计算时要小心，不要算错．-30-
