江苏省南京师大附中2022届高三数学周练（第十五周）表面积体积1.棱长为1的正三棱锥的全面积是________．答案：解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4S底面积＝4×＝.2.圆柱的底面半径为3cm，体积为18πcm3，则其侧面积为________cm2.答案：12π解析：V＝πr2l＝9πl＝18π，所以l＝2，故S侧面积＝2πrl＝12π.3.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若球的体积为4π，则正方体的表面积为________．答案：24解析：由R3＝4π得R＝，所以正方体边长a＝2，表面积为6a2＝24.4.一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积是________．答案：14π解析：设外接球半径为r，(2r)2＝12＋22＋32＝14，r＝，S＝4π·2＝14π.5.等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为________.答案：解析：等边圆柱的表面积为S1＝2πR·2R＋2·πR2＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，∴＝＝.6.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是________．答案：1∶解析：根据两个圆锥有等长的母线以及侧面积之比为1∶2，求出底面半径之比即可．7.圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________．答案：解析：设圆锥的半径为R，母线长为l，圆柱的半径为r，轴截面如图，S圆锥＝π(R＋l)R＝π(R＋R)R＝(＋1)πR2，S圆柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，又＝，所以＝，所以＝.(第7题图)-3-8.圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线SA上有一点B，AB＝2cm，那么由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短矩离为__________．答案：2解析：设侧面展开扇形圆心角为n，底面周长＝3π，则＝3π，解得n＝90°，在展开扇形中，∠O＝90°，OB＝6－2＝4.Rt△AOB中，AB＝＝＝2.(第8题图)9.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥DAEC的体积． (第9题图)(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC,∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE平面BCE，∴AE⊥BE.(2)解：VDAEC＝VEADC＝×2×＝.10.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．-3- (第10题图)(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC.∵DC1平面BDC1，∴平面BDC⊥平面BDC1.(2)解：设棱锥BDACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得V1＝××1×1＝，由三棱柱ABCA1B1C1的体积V＝1，∴(V－V1)∶V1＝1∶1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积之比为1∶1.-3-
