江苏南京师大附中2022届高三数学每周辅导直线辅导练习(第十六周）一、填空题1．“直线：x＋(a－1)y＋1＝0与直线：ax＋2y＋2＝0垂直”的充要条件是________．解析 由a＋2(a－1)＝0，得a＝.答案 a＝2．平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线条数为________．解析∵|AB|＝5，∴以A为圆心，半径为1的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与以B为圆心，半径为6的圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝36内切．∴与A距离为1，与B距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线．答案13．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线一般式方程为________．解析两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以与直线x－3y－1＝0平行的直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.答案x－3y＝04．已知曲线f(x)＝xsinx＋1在点(，1)处的切线与直线ax－y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.解析f′(x)＝sinx＋xcosx，∴f′()＝1.∴a＝－1.答案－15．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为________．解析当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－lnx相切的切点时，点P到直线y＝x＋2的距离最小．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－lnx，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－，∴2x0－＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为＝.答案6．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．解析 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．答案 7．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．答案 48-3-．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.答案 9．直线2x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是________．解析易知A(4，－1)，B(3,4)在直线l：2x－y－4＝0的两侧．作A关于直线l的对称点A1(0,1)，当A1，B，P共线时距离之差最大．答案(5,6)10．设直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．解析设B(2，－1)到直线l的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.答案3x－2y＋5＝0二、解答题11．求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．解由得直线a与直线l的交点P(3，－2)．在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2,0)．设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0，y0)，则[K]解得B.由两点式，得直线b的方程为＝，即2x＋11y＋16＝0.12．如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N. (1)证明：PM·PN为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．(1)证明 设P(x0>0)．则PN＝x0，PM＝＝，因此PM·PN＝1.(2)解 直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋.解方程组得x＝y＝x0＋，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝PN·ON＋PM·OM＝x0＋-3-＝＋≥1＋，当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN的最小值为1＋.-3-
