灌云县第一中学2022届高三第二次学情检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上. 1．设集合，集合，若，则 ▲ .2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生．3．已知复数满足（为虚数单位），则的模为▲.4．根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为▲.5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为▲．6．在中，若，，，则的值是▲．7．若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为▲．8．已知，则的值为▲．9.已知等比数列的前项和为，若，则的值是▲.10．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则离心率▲．11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍．（第13题）12．已知函数，则不等式的解集为▲1313．已知函数的图像经过点，如右图所示，则的最小值为 ▲ ．14．已知直线与圆相交于两点，若，则圆的半径 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设函数．（1）求的单调增区间；（2）若，求的值域．16．（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．1317．（本小题满分14分）如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．18．（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块，其中，，单位：百米．已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路（宽度不计），交线段于点，交线段于点．现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数的图象．若点到轴距离记为．（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当为何值时，地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数.13（1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。13灌云县第一中学2022届高三第二次学情检测附加题1．已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量．2．已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长．3．在棱长为4的正方体中，点在棱上，且．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．4．已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列．对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数．（1）求；（2）推断数列的通项公式，并给出证明．13参考答案一、填空题1.12.603.4.555.6.-57.18.9.-210.11.12.（-2，1）13.14.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设函数．（1）求的单调增区间；（2）若，求的值域．解：（1）……4分∵∴，∴的单调增区间为：……7分（2）∵∴∴∴的值域为：……14分16．（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．解：方法1，为的中点平面.…………………………………3分……………7分（1）证明：四边形是菱形又点为的中点又平面平面（2）证明：13……………………10分………………………………………9分.且.分别为的中点且……………………………………………11分又且四边形是平行四边形平面.又四边形是菱形，即又……………………………………………………………14分方法,2，证明：（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，∵点为的中点∴，……………………3分又∵平面，平面，∴直线平面．……………7分（2）∵，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，………………9分∵平面，∴，∵，，∴，∴四边形为平行四边形,∴，………………11分∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，∵，，，在平面内，∴平面． ………………14分17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．13解：（1）∵，解得：∴∴椭圆方程为：……6分（2）法（一）设，，则，∵，在椭圆上∴∴∴∵∴∴……11分∵∴∴……14分法（二）设，，则则，下同法（一）18．（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），∵y'=﹣2x，∴k=﹣，∴直线方程为y=﹣x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，∴（t+）≤2，t2+2≤3，∴2﹣≤t≤1，13∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），∴g'（t）=，当t=时，g'（t）=0，当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，g（t）≥g（）=，所以所求面积的最大值为6﹣．19．（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；……………………………4分（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3（ax2+lnx+1），令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，而=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞0，……………………………6分13故当x∈（，e）时，＞0恒成立，故在区间（，e）上单调递增，故在区间（，e）上没有极值点；……………………………10分当a=0时，由（1）知，在区间（，e）上没有极值点；当a＜0时，令=0解得，x=；故=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…12分①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）=0得=0，不可能；………………………………14分③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），而g（）=g（）=+ln＞0，又g（）＜0，所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．……………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。13解：（1）证明：∵（）①∴（）②由②①得（），∴（）.…………………………4分（2）解：方法1，∵（）……③∴（），……④④—③，得（）………………………6分从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.在①中令得，又∵，∴在③中令得，∴……………………………7分∴当（）时，，；…8分∴当（）时，，；……………9分综上所述，（）.………………………………10分方法2，由③式知，（），………………………7分记（），则（），在①中令得，又∵，∴从而，∴（）即（）.……………10分（3）解：令（），则且………………12分（或……12分）∴，∴单调递减，∴.……………………13分∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即…………………14分∴，即，解之得综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是………16分13附加题1．已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量．2．已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长．3．在棱长为4的正方体中，点在棱上，且．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．134.已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列．对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数．（1）求；（2）推断数列的通项公式，并给出证明．略13
