2021～2022学年度高三年级第一次学情检测数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［选择题（1~12））填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题：∀，x2+5x的否定是（ ）A．∃，x2+5xB．∀，x2+5x|C．∃，x2+5xD．∃，x2+5x2.设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∈A，则实数m的取值范围是（ ）A．（2，5）B．[2，5）C．（2，5]D．[2，5]3.“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝( )A．ln2B．ln3C.D.5.函数f(x)＝的图象大致为( )
6.已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7.若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )A．[－1,3] B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是（）A．0B．2C．4D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称10.“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜aD．a≥011.若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）A．ab有最大值B．有最大值C．+有最小值2D．a2+b2有最小值12.设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）A.B.C.D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是▲．14.已知集合，，若，则实数=▲．15.已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是▲．16.已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间[－2，－1]上总有|f(x)|<2，则实数a的取值范围为▲．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？18.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2＝＋.(1)求角C；(2)若BM平分角B交AC于点M，且BM＝1，c＝6，求cos∠ABM.19.（本小题满分12分）已知函数为奇函数.（1）求实数的值并证明函数的单调性；（2）解关于不等式：.
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，已知，，.（1）求证：平面；（2）设棱的中点为，求平面与平面所成二面角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点且与轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，直线AM，AN与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值.22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝lnx－x2＋ax.(1)讨论函数f(x)的极值点；(2)若f(x)极大值大于1，求a的取值范围．
2021～2022学年度高三年级第一次学情检测数学参考答案一、选择题1.2.3.4.5.6.7.8.二、多选题9.10.11.12.三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120.……………2分令＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，……………4分即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，最少水量是40吨．……………5分(2)依题意400＋10x2－120x<80，……………7分得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<<8，<t<，……………9分因为－＝8，所以每天约有8小时供水紧张．……………10分18.解：(1)因为＝＋，所以cosA＝，……………2分所以cosAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC.又A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosC＝0，……………4分因为C∈(0，π)所以C＝.……………6分(2)记∠ABM＝α，则∠MBC＝α.在Rt△MCB中，BC＝cosα，在Rt△ACB中，cos∠ABC＝，即cos2α＝
，……………9分即2cos2α－1＝，所以cosα＝或－(舍去)，所以cos∠ABM＝.……………12分19.解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，即，化简得，所以.……………4分(说明直接由用求解不给分)由得，任取，则因为，所以，，，所以所以，所以在上单调递增.……………8分（2）可化为，设函数，由（1）可知，在上也是单调递增，所以，即，解得……………12分20.解：（1）因为，，所以，所以……………2分在中，所以，所以，所以
，……………4分因为平面所以，，所以平面……………6分（2）如图建立空间直角坐标系，所以，，，，，所以，，，设平面与平面法向量分别为，二面角为所以，……………8分
……………10分所以，.……………12分21.解：（1）椭圆过点且离心率则……………2分所以，故椭圆的方程为.……………4分（2）直线的方程为，，，得.所以……………6分直线方程为：，令……………8分
直线方程为，令……………10分所以.……………12分22.解：f′(x)＝(x－a)lnx＋x－a－x＋a＝(x－a)·.……………1分(1)当a≤0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，极小值点为x＝；当0<a<时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，极小值点为x＝，极大值点为x＝a；当a＝时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，无极值点；当a>时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，极小值点为x＝a，极大值点为x＝.……………5分(2)由(1)知，当a≤0和a＝时，无极大值，不成立．……………6分当a>时，极大值f()＝a－>1，解得a>＋，由于＋－＝－＝<0，所以a>.……………8分当0<a<时，极大值f(a)＝a2(2－lna)>1，得2－lna>.令t＝a2，则g(t)＝2－lnt－，0<t<e，g′(t)＝－＋＝，所以g(t)在(0，e)上单调递增，而g(1)＝0，
所以g(t)>0的解为(1，e)，则a∈(1，)．……………11分所以a的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．……………12分
