衡阳县一中2022届高三第三次月考(期中)数学试卷（理科）时量：120分钟分值：150分注意事项：将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答卷上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,M＝{x|x2＞4},N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( A )A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}2.已知条件p：|+1|＞2，条件q：5﹣6＞2，则￢q是￢p的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.下列函数既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是（B）．A． B． C． D．4.(1+tan170)(1+tan280)的值是(C)A.B.C.2D.5.已知，则的值为(A)A.B.C.D.－6.函数,(a>1)的图象的大致形状是（C）7.已知函数，为了得到的图象，只要将的图象(B)A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9\n8.若，则f(2022)等于(D)A.2B.1C.D.9.已知，其导函数的图象如图所示，则的值为（B）A.B.C.D.10.已知是定义在上的可导函数，且满足．若，，，则，，的大小关系是（D）A．B．C．D．11.如图所示，已知D是面积为1的的边AB上中点，E是边AC上任一点，连结DE，F是线段DE上一点，连结BF，设，且，记的面积为，则S的最大值是（D）A．B．C．D．12.已知函数,若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是(A)A．B．C．D．二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.函数的定义域是.14.已知函数的图象上任意一点处的切线方程为，那么的单调减区间为.（1,2）15.对于函数有下列命题：①该函数的值域是[－1，1];②当且仅当时，该函数取得最大值1;③当且仅当;④该函数是以π9\n为最小正周期的函数;其中正确的命题序号为________________;③16.f(x)是定义在D上的函数，若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是k型函数．给出下列说法：①不可能是k型函数；②若函数是1型函数，则n-m的最大值为；③若函数是3型函数，则m=-4,n=0；④设函数(x≤0)是k型函数，则k的最小值为．其中正确的说法为．（填入所有正确说法的序号）②③三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17．（本小题满分12分）已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin)，其中.(1)若,求角的值;(2)若求的值.解：(1)…………2分…………4分…………6分(2)………7分……………8分…………10分由①式两边平方得………12分9\n18.（本小题满分12分）已知函数,相邻两条对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围及函数的单调递增区间；(2)在f(A)=1,求sinB·sinC的值.解：（1）;……………3分，由题意可知解得。………4分由得……………6分（2）由(1)可知的最大值为1，，，，而，，，…………7分由余弦定理知，，……………8分又b+c=3联立解得，……………9分由正弦定理知，…10分又∴sinB=,sinC=,…………11分∴sinBsinC=………12分19．（本小题满分12分）如图1，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和发电站C，村庄B与A，C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要铺设电缆，从发电站C向村庄A，B供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）如果村庄A与B之间原来铺设有旧电缆(图1中线段AB所示)，只需对其进行改造即可使用.已知旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定在线段AB上找得一点F建一配电站，分别向村庄A，B供电，使得在完整利用A，B之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点F的位置；9\n（2）如图2，点E在线段AD上，且铺设电缆线路为CE，EA，EB．若，试用表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值。解：（1）由已知得为等边三角形，因为，所以水下电缆的最短线路为过做于F，可知地下电缆的最短线路为又，故该方案的的总费用为（万元），此时点到点的距离为……………………………4分（2）因为，所以，，则……6分令，从而，由于，所以从而存在唯一的，有…………8分故当时，，递减，当时，，递增，故，即有（万元）…………11分因此施工总费用的最小值为（万元）．…………12分（数形结合相应给分）20．（本小题满分12分）设函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，求的单调区间.解：(1)依题意，知的定义域为.当时，，.…………2分9\n令，解得.…………3分当时，；当时，.………4分又，所以的极小值为，无极大值.……5分(2)…………7分当时，,令,得或;令,得；………9分当时，得，令，得或，令，得；…10分当时，.………………11分综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.当时，在单调递减.当时，的递减区间为；递增区间为.……12分21.（本小题满分12分）已知函数．(1)求证：存在定点M，使得函数f(x)图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上，并求出点M的坐标；(2)定义，其中且，求；(3)对于(2)中的，求证：对于任意都有．解：(1)显然函数定义域为（0，1）.设点M的坐标为（a,b），则由………………2分对于恒成立，于是解得………………………3分所以存在定点，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上.……4分(2)由（1）得∵……①9\n∴……②………………6分①+②，得，∴，故……8分(3)当时，由（2）知，于是等价于……9分令，则，∴当时，，即函数在上单调递增，又g(0)=0.于是，当时，恒有，即恒成立.…11分故当时，有成立，取，则有成立.……12分9\n请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点（1）求长；（2）当⊥时，求证：.【解】（1），…………1分．∵，∴…………3分∴，∵，∴，∴．……………5分（2）证明：∵，．∴∴∴……………………10分23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程直线（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。（1）求圆心C到直线的距离；（2）若直线被圆C截的弦长为的值.解（1）把化为普通方程为 把化为直角坐标系中的方程为……………4分圆心到直线的距离为……………5分（2）由已知圆的半径为，弦长的一半为所以，……………8分，……………10分24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数．9\n（1）当时，解不等式；（2）若时，，求的取值范围．【解】（1）当时，不等式为…………1分当，不等式转化为，不等式解集为空集；…………2分当，不等式转化为，解之得；…………3分当时，不等式转化为，恒成立；…………4分综上不等式的解集为.…………5分（2）若时，恒成立，即，…………7分亦即恒成立，…………8分又因为，所以，…………9分所以的取值范围为.…………10分9
