福建省厦门第一中学2022—2022学年度第一学期期中考试高二年数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1.已知是两个不相等的正数，是的等差中项，是的等比中项，则与的大小关系是A.B.C.D.2．在中，内角，，对应的边分别为，，，若，则角等于A．B．C．或D.或3．若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是A．或B.C.或D.4．下列各函数中，最小值为的是A．,且B．，C．,D．,5.等差数列{}的前项和记为,若为常数,则下列各数中恒为常数的是A．B．C．D．6.已知变量满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里8.关于的不等式的解集为，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于A．6B．7C．8D．99.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则A.B.C.D.10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为，则这样的数列共有A.2个B.3个C.4个D.5个第1页（共4页）-12-\n第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.在等比数列中，，则等于▲.12.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为▲.13.设函数，则不等式的解集是▲.14.要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲(单位：元)．15.已知方程，其一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围为▲.16．平面内有个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该个圆把平面分成个区域，那么▲.三、解答题：本大题共6小题，共76分。17．（本小题满分12分）在中，内角，，对应的边分别为，，（），且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，且边上的中线长为，求的面积．18．（本小题满分12分）已知等比数列满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n+1＋47<0成立的正整数n的最小值．第2页（共4页）-12-\n19．（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设正数满足，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围。20.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前项和且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，若对任意恒成立，求实数的最小值.第3页（共4页）-12-\n21．（本小题满分14分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加万元，该设备使用后，每年的总收入为万元，设从今年起使用年后该设备的盈利额为万元。（Ⅰ）写出的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备。问用哪种方案处理较为合算?请说明理由.22.（本小题满分14分）已知数列的前项和。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，，试比较与的大小，并予以证明。第4页（共4页）-12-\n厦门一中2022-2022学年高二（上）期中考理科数学答题卷班级座号姓名准考证号题号选择题填空题171819202122总分得分二.填空题：11.；12.；13.；14.；15.；16..三.解答题：17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)解：-12-\n第1页（共4页）座位号19.(本题满分12分)解：20.(本题满分12分)解：-12-\n第2页（共4页）21（本题满分14分）解：-12-\n第3页（共4页）22．（本题满分14分）解：第4页（共4页）厦门一中2022-2022学年高二（上）期中考理科数学试题参考答案一、选择题：BCBDBCADAC二、填空题：11.4；12.；13.；14.；15.；16..-12-\n10.解∵设等差数列首项为a，公差为d，依题意有na+n(n−1)d＝972，即[2a+（n-1）d]n=2×972 ．因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2×97，972，2×972四者之一．若d＞0，则知2×972≥n（n-1）d≥n（n-1）＞（n-1）2．故只可能有n=97．于是 a+48d=97．此时可得n=97，d=1，a=49 或 n=97，d=2，a=1．若d=0时，则由（3）得na=972，此时n=97，a=97 或 n=972，a=1．故符合条件的数列共有4个，故答案为C．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵，∴．即．∵，∴，∵，∴，∴．…………4分（Ⅱ）∵，∴.…………7分（Ⅲ）由及（Ⅰ）知，所以，，.…………8分设，则，又在中，由余弦定理得即解得…………10分故…………12分18.解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）由（1）及a1≠0，得q2-3q+2=0，∴q=1，或q=2，…………4分当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，…………5分把q=2代入（2）得a1=2，所以，an=2•2n-1=2n；…………6分第1页（共4页）（Ⅱ）bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.…………7分所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－n－n2.…………9分因为Sn－2n＋1＋47<0，-12-\n所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.…………11分因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.…………12分19.解：（Ⅰ）不等式或或即或或，…………4分于是原不等式的解集为…………6分（Ⅱ）因为，所以，…………8分当且仅当即时取得最小值，…………9分因为对任意都成立，所以，…………11分于是，所求实数的取值范围是.…………12分20.解：（Ⅰ）由，解得………4分于是，………5分（Ⅱ）因为，所以，………7分第2页（共4页）因为对任意恒成立，………8分-12-\n且………10分当且仅当时，取“”，所以………11分，即实数的最小值为………12分.21.解：（Ⅰ）.………3分（Ⅱ）由得：即，解得，由知，，即从第三年开始盈利………6分（Ⅲ）方案①：年平均盈利为，则，当且仅当，即时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元.……10分方案②：，当时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．………14分22．（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即………1分，当时，，，………3分.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.………6分（Ⅱ）由（I）得，所以第3页（共4页）-12-\n由①-②得………9分于是只要比较与的大小即可，（1）当时，，此时，即，………10分（2）猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：①当时，不等式成立；②假设时，不等式成立，即；则当时，，所以当时，不等式成立.由①和②可知，当时，成立，………13分于是，当时，即.………14分另证：要证（），只要证：，只要证：，由均值不等式得：，所以，于是，当时，即。第4页（共4页）-12-
