高三数学（理科）试题（20221014）班级：姓名：座号：得分：一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．1.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.y＝x－1与y＝B.y＝与y＝C.y＝4lgx与y＝2lgx2D.y＝lgx－2与y＝lg2.设集合，则A∩B的子集的个数是（）A.1B.2C.3D.43.不等式组的解集为D,有下面四个命题：（），，，其中真命题的是A.B．C．D．4．已知f（x）=32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣1）C．（﹣1，2﹣1）D．（﹣2﹣1，2﹣1）5.如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设为（）A．B．C．D．6．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．-7B．-6C．-5D．-4-10-\n二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.7.已知是等差数列，，，则过点P(3，)，Q（4，）的直线的斜率为_________.8．在区间内任取两个数，则这两个数的平方和也在内的概率为 ．9.已知定义在上的函数，当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是 ．10．给出下列三个结论：①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x<0”；②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)<0，g′(x)<0，则x<0时，f′(x)<g′(x)；④设随机变量～,若，则．其中正确结论的序号是_____________．(填写所有正确结论的序号)三、解答题:（本大题有5小题，共50分.）11.设a、b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(－b,b)上有定义.(1)求a的值；(2)求b的取值范围；(3)判断函数f(x)在区间(－b,b)上的单调性,并说明理由.-10-\n12．已知数列满足（1）求；（2）令，证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式．13.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－.(1)求函数f(x)在区间上的最小值；(2)证明：对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．-10-\n14．设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；]（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．15．选考题：从以下2题中选择1题做答，每题10分，若2题全做，则按第1题给分.-10-\n(A)（选修4—4参数方程与极坐标）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．(B)（选修4—5不等式证明选讲）已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，，若对任意的都成立，求实数k的取值范围．-10-\n高三数学（理科）试题参考答案及评分标准10.141－6DDCBBA7－104，，c>b>a，③④5.B，同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以。6．A记，，则方程在区间上的根与方程在区间上的根相同.令，则有，当时，，方程，即，，在同一坐标系下画出函数，的图象与，的图象，结合图象不难得知，它们的图象共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为、、，则有，，，，因此方程在区间上的根的和等于.10.答案：③④对于②,由y＝x与y＝sinx的图像可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x<0时，f′(x)<0，g′(x)>0.∴f′(x)<g′(x)，③正确．11.解：(1)f(－x)=－f(x),即lg,即,整理得：1－a2x2=1－4x2,∴a=±2.又a≠2,故a=－2.-10-\n(2)f(x)=lg的定义域是(－，)，∴0<b≤.(3)f(x)=∴函数在定义域内是单调递减的.12．解：（1）∵ …………………2分（2）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列．………………7分（3）由（I）得 ………………10分13.解：(1)由f(x)＝xlnx，可得f′(x)＝lnx＋1.当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)在区间上单调递增，又f(1)＝0，所以函数f(x)在区间上的最小值为0.(2)证明：由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))在x＝时取得最小值，又f()＝－，所以f(m)≥－.由g(x)＝－，可得g′(x)＝.所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)-10-\n单调递减．所以函数g(x)(x>0)在x＝1处取得最大值，又g(1)＝－，所以g(n)≤－.因为f(m)≥－≥g(n)，所以对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．14.【解析】（本小题12分）（Ⅰ），，，，（Ⅱ），设，，则，，在上单调递增，，在上单调递增，．．（Ⅲ）设，，由（Ⅱ）中知，，，①当，即时，，在单调递增，，成立．②当，即时，，，令，得，当时，，在上单调递减，，不成立．-10-\n综上，．15.(A)（选修4—4参数方程与极坐标）解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.………………5分（注：极坐标系下点的表示不唯一）(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2………………10分(B)，∴，即，（2分）∴①或②或③解得不等式①：；②：无解；③：，所以的解集为或．（5分）（Ⅱ）即的图象恒在图象的上方，（6分）可以作出的图象，-10-\n而图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，作出函数图象如图3，（8分）其中，∴，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围应该为．（10分）-10-
