高三理科数学下册第八次月考问卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（）．A． B． C． D．2．随机变量～，则等于B(A) (B) (C) (D) 3．若点O为的外心，且则的内角C等于（）A、B、C、D、4．设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为()A．B．C．D．5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是()Ａ．或Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．7．在数列中，如果存在非零常数T，使得对任意正整数m均成立，那么就称为周期数列，其中T叫做数列的周期。已知数列满足，且当数列周期为311/11\n时，则该数列的前2022项的和为()A.1340B.1342C.1336D.13388．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）A．B．1C．2D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在对应题号后的横线上。9．设函数，要使在（-∞，+∞）内连续，则=______10．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，，且∠C=90°则的值是;11．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是。12．若,且,则值为.13．为四面体的侧面内的动点，若点到底面的距离与点到点的距离相等，则动点在侧面内的轨迹可能是．（填上你认为正确的一个结论序号）①线段②圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分⑤椭圆的一部分14．若对于定义域任意x,总存在常数M,都有|f(x)|<M总成立，则称函数为有界函数。给定下列函数：①f(x)=2cos2x+sin2x,②g(x)=,③h(x)=,④p(x)=xe-x.其中有界函数的有。（只填正确答案的序号）15．连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记事件A为“所得点数m,n使得椭圆的焦点在x轴上”（1）P(A)=;(2)若椭圆与椭圆满足，则称两椭圆为同和椭圆，从事件A所含的椭圆中随机抽取两个恰为同和椭圆的概率=.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)已知中，，，，11/11\nＡＢＣ120°记，（1）求关于的表达式；（2）求的值域；17．(本小题满分12分)我校文化体育艺术节的乒乓球决赛在甲乙两人中进行，比赛规则如下：比赛采用7局4胜制（先胜4局这获胜即比赛结束），在每一局比赛中，先得11分的一方为胜方；比赛没有平局，10平后，先连得2分的一方为胜方（1）根据以往战况，每局比赛甲胜乙的概率为0.6，设比赛的场数为,求的分布列和期望；（2）若双方在每一分的争夺中甲胜的概率也为0.6，求决胜局中甲在以8:9落后的情况下最终以12:10获胜的概率。11/11\n18．(本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC,∠CAF=∠AFE=90º,AB=，AF=FE=1.（1）求证EC//平面BDF；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°．19.(本小题满分13分)货币是有时间价值的，现在的100元比一年后的100元价值要大些。例如银行存款的年利率为5%，那么现在的100元一年后就变为100（1+5%）=105元，而一年后的100元只相当于现在的元,即一年后100元的现值为元。一般地，若银行的年利率为i，且在近n年内保持不变，则第n年后的a元的现值为元。在经济决策时，常考虑货币的时间价值，把不同时期的货币化为其现值进行决策。某工厂年初欲购买某类型机器，有甲乙两种型号可供选择，有关资料如下：甲型机器购货款为10万元，每年年底支付的维护费用（维修、更换零件）第一年为1000元，第二年为2000元，……（以后每年比上年增加1000元）；乙型机器购货款为6万元，每年年底支付的维护费用（大修理等）均为10000元。（1）若银行利率为i,分别求购买甲乙型机器使用n年总成本（购货款与各年维护费用之和）的现值，并求（2）若i=5%，两种型号机器均使用10年后就报废，请你决策选用哪种机器（总成本现值较小者）。（参考数据1.05-9=0.6446，1.05-10=0.6139，1.05-11=0.5874）11/11\n20．(本小题满分13分)若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．(Ⅰ)求的极值；(Ⅱ)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．11/11\n21．(本小题满分13分)已知直线L：x-y-3=0，抛物线C的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，S是抛物线C上任意一点，T是直线L上任意一点，若|ST|的最小值为d>0时,点S的横坐标为2.（1）求抛物线方程以及d的值；（2）过抛物线C的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.设点分有向线段所成的比为，证明：；（3）设R为抛物线准线上任意一点，过R作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点，请说明理由。11/11\n湖南省长沙市第一中学第八次月考理科数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CBBDADDC二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在对应题号后的横线上。9．10．311.12.13．④⑤14．①②③④15．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．解：（1）由正弦定理有：；……2分 ∴，；……4分∴……6分……8分（2）由；……10分∴；∴……12分17．解：（1）的所有取值为4,5,6,7。…………1分=0.1552=0.268811/11\n=0.29952=0.27648………………5分的分布列为：4567P0.15520.26880.299520.27648E=5.69728…………8分（2）从比分8:9到12:10有下面三种情况：8:9—8:10,9:10,10:10,11:10,12:108:9—9:9,9:10,10:10,11:10,12:108:9—9:9,10:9,10:10,11:10,12:10…………10分由此可知：最后两分必为甲且必出现10平，甲以8:9落后的情况下以12:10获胜的概率为…………12分18．解法一:(1)记AC与BD的交点为O,连接OF,∵OC=EF=1EF//AC∴四边形EFOC是平行四边形，∴CE∥OF．∵平面BDF，平面BDF，∴CE∥平面BDF．(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小为60º．（3）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点．解法二：空间响亮求解参照计分．19.解析：设甲型机器n年的维护费用之和为（千元），n年年底支付的维护费用分别为1，2，3，……,n(千元)。设，……2分相减得…………4分11/11\n，求得，故甲型机器n年总成本的现值为。…………5分设乙型机器n年成本的现值为=…7分故……8分（2）当i=5%,n=10时……10分……12分所以乙型机器总成本的现值最小，选择乙型机器较好。……13分20．【解】(Ⅰ)，．…………………………2分当时，．…………………………3分当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．…………………………6分(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．…………………………7分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．…………………………8分由，可得当时恒成立．，由，得．…………………………10分11/11\n下面证明当时恒成立．令，则，…………………………11分当时，．当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．从而，即恒成立．………13分∴函数和存在唯一的隔离直线．………………………14分解法二：由(Ⅰ)可知当时，(当且当时取等号)．……7分若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得和恒成立，令，则且，即．…………………………8分后面解题步骤同解法一．21．解：（1）设抛物线方程为，由∴，∴抛物线方程为；…………5分（2）依题意，可设直线的方程为代入抛物线方程得①设两点的坐标分别是、、是方程①的两根.…………6分所以11/11\n由点分有向线段所成的比为，得又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.……7分所以…………9分（3）设，，，∵，∴的方程为；∵过，∴，同理∴为方程的两个根；∴；……11分又，∴的方程为∴，显然直线过点……13分11/11
