高三理科数学下册月考试卷(八)理科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿命题人：洪利民谢美丽贺仁亮审题人：洪利民谢美丽贺仁亮时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合M与N的新运算：，若，，则等于（）A．B．C．D．2．在等差数列中，若，则（）A．B．C．D．3．已知对任意实数，有，，且时，，，则时，有（）A．，B．，C．，D．，4．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则的值是（）A．B．C．D．与点位置有关5．四面体的外接球球心在上，且，，则在外接球球面上，两点间的球面距离是（）A．B．C．D．6．设随机变量～，且当二次方程无实根时的10/10\n的取值概率为0.5，则（）A．0B．0.5C．1D．27．设，，均为正数，且，，，则（）A．B．C．D．8．已知函数，。规定：给定一个实数，赋值，若，则继续赋值，…，以此类推，若，则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了次（）。已知赋值次后该过程停止，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9．“或”是“”成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)．10．11．若的斜边在平面内，顶点在平面外，则两直角边，在平面上的射影与斜边组成的图形是。12．已知是单位向量，，则在方向上的投影为。13．由线性约束条件所确定的区域面积为，当时，记，则的最大值为。14．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是。15．设数列的前项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为，那么数列，，，…，的“理想数”是。10/10\n三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知函数，是的导函数。（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）若，求的值。17．（本小题满分12分）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标的概率；(2)设这名射手在比赛中得分数为，求随机变量的概率分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面，为棱的中点，已知，，，，求：（1）异面直线与的距离；（2）三面角的平面角的正切值。19．(本小题满分13分)某出版公司为一本畅销书定价如下：这里表示定购书的数量，表示定购本所付的钱数(单位：元)．(1)有多少个，会出现买多于本书比恰好买本书所花钱少?(2)若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书，每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?20．(本小题满分13分)已知向量，，动点到定直线的距离等于10/10\n，并且满足，其中是坐标原点，是参数。（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，若直线与动点的轨迹相交于、两点，线段的垂直平分线交轴，求的取值范围；（3）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足，求的取值范围。21．(本小题满分13分)已知函数，数列满足：，（1）求证：；（2）求证数列是等差数列；（3）求证不等式：10/10\n炎德·英才大联考高三月考试卷(八)理科数学参考答案一、选择题：1．D2．A3．B4．B5．C6．C7．A8．B二、填空题：9．必要不充分10．11．线段或钝角三角形12．13．14．15．三、解答题：16．解：（1）∵，……………………………………………（2分）∴……………………………………………（4分）∴当（）时，最小正周期为……………………………………………（6分）（2）∵∴……………………………………………（9分）∴…………（12分）17．解：（1）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．依题意。设在米处击中目标的概率为，则，由时，所以，，即，…………………（2分），…………………………（5分）10/10\n由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击中命中目标的概率为…………………………（8分）(2)依题意，设射手甲得分为，则，，，，所以的分布列为所以…………………………（12分）18．解：解法一：（1）∵平面，∴又∵为的中点，∴，而，且，∴为等边三角形。∴，∴，∴，∴，∴是异面直线与的公垂线段。∴异面直线与的距离为1。…………………………（6分）（2）∵，∴…………………………（8分）又∵，∴异面直线与所成的角即为二面角的大小。∴即为所求。又∵，…………………………（10分）∴…………………………（12分）解法二：（1）建立如图所示空间直角坐标系。由于，，，，在三棱柱中有10/10\n，，，，……………………（2分），∴，故，即……………（4分）又面，故。因此是异面直线与的公垂线段，则，故异面直线与的距离为1。……………（6分）（2）由已知有，，故二面角的平面角的大小为向量与的夹角。因，…………………………（10分）故，即…………………………（12分）19．解：(1)由于在各段上都是单调增函数，因此在第一段上不存在买多于本书比恰好买本书所花钱少的问题，一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于本书比恰好买本书所花钱少的现象．，，∴……………（1分），∴…………………………（2分），，∴，∴，，∴，，∴…………………（5分）∴这样的有23，24，45，46，47，48，共6个。…………………（6分）10/10\n（2）设甲买本书，则乙买本，且，①当时，，出版公司赚得钱数…………………（7分）②当时，，出版公司赚得钱数…………………（8分）③当时，，出版公司赚得钱数…………………（9分）∴……………………………………（10分）∴当时，；当时，；当时，。故出版公司至少能赚302元，最多赚384元．……………………………………(13分)20．解：（1）设，则由，且是原点，得，，，从而，，，，，根据得，即为所求轨迹方程。………………………………(4分)（2）当时，动点的轨迹方程是，即，∵的方程为，∴代入，∴，∴，∴，∴或，∴。∴的中点为，∴垂直平分线方程为，10/10\n令得，∴∴，∴（）…………………(8分)（3）由于，即，所以此时圆锥曲线是椭圆，其方程可以化为………………………………(9分)①当时，，，，此时，而，∴；………………………………(11分)②当时，，，，此时，而，∴而时，可解得。综上可知的取值范围是……………………………………………………(13分)21．解：（1）由得当时，，即是单调递增函数；当时，即是单调递减函数；且，即是极大值点，也是最大值点，当时取到等号。………(4分)（2）由得，，10/10\n故，即数列是等差数列，首项为，公差为…………………(8分)（3）由（2）可知所以又∵时，有，令，则∴∴…………………(13分)用数学归纳法证，酌情给分．本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！10/10
