2020-2021学年长春市汽开区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列各式中正确的是( )A.(-2)0=0B.3-2=-6C.m4÷m=m3(m≠0)D.2x+3x=5x2.一根头发的直径大约是0.000006米，将这个数0.000006用科学记数法表示正确的是( )A.6×10-5B.6×10-6C.6×10-7D.6×10-83.如图，菱形ABCD的边长为6，∠B=120°，点E在BC上，CE=2，F是线段AD上一点，将四边形BEFA沿直线EF折叠，B的对应点为B'，当DB'的长度最小时，DF的长为( )A.27B.25C.26D.424.下列命题是真命题的是( )A.如果a2=b2，那么a=bB.0的平方根是0C.如果∠A与∠B是内错角，那么∠A=∠BD.负数没有立方根5.计算(x3y2)2⋅xy3，得到的结果是( )A.xyB.x7 y4C.x7 yD.x5 y66.在100个数据中，用适当的方法，抽取50个作为样本进行统计，频数分布表中55～58这一组数据的频率是0.12，那么估计这100个数据中，落在55～58之间的约有( )A.120个B.60个C.12个D.6个7.“直角”在初中几何学习中无处不在．问题：如图①，已知∠AOB，判断∠AOB是否为直角(仅限用直尺和圆规).方法：如图②，在OA，OB上分别取点C，D，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE=OD，则∠AOB=90°.其中判断∠AOB=90°的依据为( ),A.同圆的半径相等B.等腰三角形“三线合一”C.线段垂直平分线的性质D.角平分线的性质8.甲乙两地铁路线第约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x千米/时，根据题意，可得方程( )A.500x+1.5=5001.8xB.500x+1.8=5001.5xC.500x-1.5=5001.8xD.500x-1.8=5001.8x二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）9.若(a+2)a-3=1，则a=______．10.若a+b=4，则12(a2+b2)+ab=______．11.若代数式x+3 x+3有意义，则x应满足______．12.9x2+4y2+______=(3x+2y)2．13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB，CA于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若AD=3，BC=12，则S△DBC的值是______．14.已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，则它的周长为______cm．15.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）,16.(1)计算：x2+8x+16x2-16-8x-4；(2)解方程：1x-2-3=22-x．四、解答题（本大题共8小题，共58.0分）17.计算：(1)5a2⋅(-3a3)2(x-3)(x+2)-6(x-1)(2)分解因式7x3-28xx2y-2xy2+y3(3)解分式方程2x=3x+2xx-2-1x2-4=118.如图，在正方形ABCD中，AB=12，G是BC延长线上一点，AG交BD于点M，交CD于点H，OG交CD于点N．(1)若BC=CG，①证明：△ADH≌△GCH；②求tan∠MAO；(2)若MN//AC，求ON的长．19.先化简，再求值：x-3yx2-9y2，其中x=1，y=13．,20.如图，一次函数y=-23x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(1)求点A、B的坐标；(2)求过B、C两点的直线的解析式．21.近几年石家庄雾霾天气严重，给人们的生活带来很大影响．某学校计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多1万元，花50万元购买的A种设备和花70万元购买B种设备的数量相同．(1)求A种、B种设备每台各多少万元？(2)根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共10台，总费用不高于30元，求A种设备至少要购买多少台？22.为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请回答下列问题．(1)a=______，b=______；(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______；(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲乙两名男生同时被选中的概率．23.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长．,24.如图点A(a,0)在x轴负半轴，点B(b,0)在x轴正半轴，点C(0,c)在y轴正半轴，且a+3+(b-2)2+|c-7|=0(1)如图1，求S△ABC；(2)如图2，若点D(0,5)，BD的延长线交AC于E，求∠AEB；(3)如图3，在(2)的条件下，将线段BA绕点B逆时针旋转90°至线段BF，连接EF，试探究EA，EB，EF之间有怎样的数量关系，并证明．,参考答案及解析1.答案：C解析：解：A、(-2)0=1，故错误；B、3-2=19，故错误；C、m4÷m=m4-1=m3，正确；D、2和3不是同类二次根式，不能合并，故错误；故选：C．根据0指数次幂、二次根式的加减、负整数指数次幂和同底数幂的除法法则分别计算，再判断．本题考查了0指数次幂、二次根式的加减、负整数指数次幂和同底数幂的除法．注意非0数的0指数次幂应是1．2.答案：B解析：解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10-6．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.答案：A解析：解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵菱形ABCD的边长为6，∠B=120°，∴CD=6，∠C=60°，且DH⊥BC，∴CH=3，DH=33∵CE=2∴HE=1,在Rt△DHE中，DE=DH2+HE2=27∵AD//BC∴∠DFE=∠BEF，∵将四边形BEFA沿直线EF折叠，B的对应点为B'，∴∠BEF=∠DEF∴∠DFE=∠DEF∴DF=DE=27故选：A．由折叠可知点B'在以E为圆心，以BE长为半径的弧上，故当D，E，B'在一条直线上时，DB'有最小值，过点D作DH⊥AB，先求得DH、EH的长，则依据勾股定理可得到DE的长，再由折叠的性质可得DF的长．本题主要考查翻折变换，菱形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定，判断出DB'的长度最小时点B'的位置是解题的关键．4.答案：B解析：解：A、如果a2=b2，那么a=±b，故原命题错误，是假命题；B、0的平方根是0，正确，是真命题，符合题意；C、内错角不一定相等，故原命题错误，是假命题；D、负数的立方根是负数，故原命题错误，是假命题，故选：B．利用实数的有关性质及平行线的判定与性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的有关性质及平行线的判定与性质，难度不大．5.答案：C解析：解：(x3y2)2⋅xy3=x6y4⋅xy3=x7y.故选：C．直接利用分式的乘法运算法则化简得出答案．此题主要考查了分式的乘法运算，正确化简分式是解题关键．6.答案：C,解析：解：用样本估计总体：在频数分布表中，55～58这一组的频率是0.12，那么估计总体数据落在55～58这一组的频率同样是0.12，那么其大约有50×0.12=6个，所以100个数据中，落在55～58之间的约有12个．故选C．利用样本总数乘以该组频率来求该组的频数即可．本题考查频率、频数的关系，解题的关键是了解这些知识并熟练的应用，难度适中，是一道好题．7.答案：B解析：解：由作图可知，CE=CD，∵OE=OD，∴CO⊥ED(等腰三角形“三线合一”)，∴∠COD=90°．故选：B．根据等腰三角形的性质即可判断．本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．8.答案：C解析：解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，由题意得，500x-1.5=5001.8x．故选：C．设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9.答案：3或-1或-3解析：解：∵(a+2)a-3=1，∴a+2≠0，且a-3=0或a+2=1或a+2=-1，且a-3是偶数，∴a=3或-1或-3，故答案为：3或-1或-3．,分别运用负整数指数幂、零指数幂运算法则计算即可．本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解题的关键，本题容易丢解，要注意等于1的所有情况．10.答案：8解析：解：原式=12(a2+b2+2ab)=12(a+b)2，当a+b=4时，原式=8．故答案为：8原式提取公因式后利用完全平方公式分解，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.答案：x>-3解析：解：根据二次根式的意义，被开方数x+3≥0，解得，x≥-3；据分式有意义的条件，x+3≠0，解得x≠-3；故x>-3．根据式子特点，从两个角度解答：①被开方数大于等于0；②分母不等于0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12.答案：12xy解析：首先根据完全平方公式将等式右边展开，然后根据等式的性质得出结果．本题主要考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，熟记公式结构是解题的关键．解：∵(3x+2y)2=9x2+4y2+12xy，∴9x2+4y2+12xy=(3x+2y)2．故应填12xy． 13.答案：18,解析：解：如图，作DQ⊥BC于Q．由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠A=90°，AD=3，∴DA=DQ=3，∵BC=12，∴S△BCD=12⋅BC⋅DQ=12×12×3=18，故答案为：18．作DQ⊥BC，由角平分线的性质知DA=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14.答案：29解析：解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，又三角形任意两边之和大于第三边，∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm．∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12=29(cm)．故答案为：29cm．由已知条件结合三角形任意两边之和大于第三边，判断第三边的值为12cm，从而求出它的周长．本题主要考查了等腰三角形的性质的应用以及三角形的三边关系定理．依据定理得出第三边的值是解题的关键．15.答案：10解析：解：将长方体展开，连接A、B'，∵AA'=1+3+1+3=8(cm)，A'B'=6cm，根据两点之间线段最短，AB'=82+62=10cm．故答案为：10．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．16.答案：解：原式=(x+4)2(x+4)(x-4)-8x-4=x+4x-4-8x-4,=x-4x-4=1；(2)去分母，得1-3(x-2)=-2，整理，得x-2=1，∴x=3．经检验，x=3是原方程得解．所以原方程得解为：x=3．解析：(1)先约分，再加减比较简便；(2)按解分式方程的一般步骤求解即可．本题考查了分式的混合运算和解分式方程，掌握分式混合运算的法则和解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．17.答案：解：(1)原式=5a2⋅9a6=45a8；(x-3)(x+2)-6(x-1)=x2+2x-3x-6-6x+6=x2-7x；(2)7x3-28x=7x(x2-4)=7x(x+2)(x-2)；x2y-2xy2+y3=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2；(3)2x=3x+2，去分母得：2x+4=3x，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解；xx-2-1x2-4=1，去分母得：x2+2x-1=x2-4，,解得：x=-32，经检验x=-32是分式方程的解．解析：(1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式法则计算即可求出值；原式利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(3)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，分解因式，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．18.答案：解：(1)①∵AD=BC=CG，∠ADH=∠HCG=90°，∠AHD=∠CHG，∴△ADH≌△GCH；②∵AD//BC，∴△AMD∽△GMB，∴DMBM=ADBG=12，设OM=x，∵AB=12，∴BO=OD=122=62，DM=62-x，BM=62+x，∴62- x62+x=12，122-2x=62+x，得x=22，∵AO⊥OM，∴tan∠MAO=OMAO=2262=13，故tan∠MAO=13；(2)∵MN//AC，∴∠OMN=∠AOM=90°，,∵∠BDC=45°，∴DM=MN=22DN，设OM=y，∴DM=62-y=MN，∴DN=2(62-y)=12-2y，∴CN=12-(12-2y)=2y，设CG=Z，作OP⊥BC于P，∴△OPG∽△NCG，∴OPCN=PGCG，∴62 y=6+ZZ，32Z=y(6+Z)，y=32ZZ+6，∴AMD∽△GMB，∴ADBG=DMBM，1212+Z=62-y62+y，整理得y=62Z24+Z，∴32ZZ+6=62ZZ+24，Z+24=2(Z+6)，得Z=12，∴CG=BC，∴OM=22，MN=DM=42，,∴ON=OM2+MN2=210．解析：(1)①根据全等三角形的判定可证；②根据相似三角形的判定可证△AMD∽△GMB，由相似三角形的性质得DMBM=ADBG=12，设OM=x，根据边的关系，DM=62-x，BM=62+x，由DMBM=ADBG可得x的值，即可求tan∠MAO的值；(2)由MN//AC得MN⊥BD，由正方形的性质得∠BDC=45°，设OM=y，由勾股定理DN=12-2y，CN=CD-DN=2y，设CG=Z，作OP⊥BC于P，根据相似三角形的判定可得△OPG∽△NCG，由相似三角形的性质得y=32ZZ+6，根据相似三角形的判定可得△AMD∽△GMB，再由相似三角形的性质得ADBG=DMBM，可以推出Z=12，即CG=BC，即可求出ON的长．本题考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质．解本题的关键要掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点．19.答案：解：x-3yx2-9y2=x-3y(x+3y)(x-3y)=1x+3y，当x=1，y=13时，原式=11+3×13=12．解析：直接利用分式的基本性质化简，再把已知数据代入求出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．20.答案：解：(1)∵一次函数y=-23x+2中，令x=0得：y=2；令y=0，解得x=3，∴B的坐标是(0,2)，A的坐标是(3,0)；(2)如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO，在△ABO与△CAD中，∠BAO=∠ACD∠BOA=∠ADCAB=CA，∴△ABO≌△CAD(AAS)，,∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5，则C的坐标是(5,3)，设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：5k+b=3b=2，解得：k=15，b=2，∴直线BC的解析式是y=15x+2．解析：(1)先根据一次函数的解析式把x=0或y=0代入，即可求出B、A两点的坐标；(2)作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，OB=AD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．21.答案：解：(1)设A种设备每台x万元，则B种设备每台(x+1)万元，依题意，得：50x=70x+1，解得：x=52，经检验，x=52是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+1=72．答：A种设备每台52万元，B种设备每台72万元．(2)设购进A种设备m台，则购进B种设备(10-m)台，依题意，得：52m+72(10-m)≤30，解得：m≥5．答：A种设备至少要购买5台．解析：(1)设A种设备每台x万元，则B种设备每台(x+1)万元，根据数量=总价÷单价结合花50万元购买的A种设备和花70万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进A种设备m台，则购进B种设备(10-m)台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于30元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．,本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.答案：2 45 72°解析：解：(1)∵被调查的总人数为12÷30%=40，∴a=40×5%=2；b%=40-12-8-240×100%=45%，即b=45；故答案为：2、45；(2)表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×840=72°，B等次人数为40-12-8-2=18，条形统计图补充为：故答案为：72°；(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，所以甲、乙两名男生同时被选中的概率为212=16．(1)用A等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出a和B等次的人数，然后计算出a、b的值；(2)先补全条形统计图，然后用360°乘以C等次所占的百分比得到C等次的扇形所对的圆心角的度数；,(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23.答案：解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC于点F，∴DE=DF=2，∵S△ADB=12AB×DE=12×4×2=4，∵△ABC的面积为7，∴△ADC的面积为7-4=3，∴12AC×DF=3，∴12AC×2=3，∴AC=3．解析：根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．24.答案：解：(1)∵a+3+(b-2)2+|c-7|=0，∴a+3=0，b-2+0，c-7=0，∴a=-3，b=2，c=7，∴点A(-3,0)，点B(2,0)，点C(0,7)，∴OA=3，OB=2，OC=7，∴S△ABC=12AB⋅OC=12×5×7=352；(2)∵AC=32+72=58，∵点D(0,5)，∴BD=29，如图2，过C作CH//BD交x轴于H，∵点B(2,0)，点D(0,5)，∴直线BD的解析式为：yBD=-52x+2，,∴直线CH的解析式为yCH=-52x+7，当y=0时，x=145，∴H(145,0)，∴OH=145，∴CH=OC2+OH2=7295，过A作AM⊥CH于M，∵S△ACH=12AH⋅OC=12CH⋅AM，∴AM×7529=295×7，∴AM=29，∴CM=AC2-AM2=29，∴AM=CM，∴∠CAM=∠ACM=45°，∵BE//CH，∴∠AEB=∠ACH=45°；(3)∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°至线段BF，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB=BF，∠ABF=90°，如图3，把△EBF绕着点B顺时针旋转90°得到△ABQ，∴△EBQ是等腰直角三角形，∴∠QEB=45°，EF=AQ，∴∠AEQ=90°，∴EF2=AQ2=AE2+EQ2=AE2+2BE2．解析：(1)根据非负数的性质得到a=-3，b=2，c=7，于是得到点A(-3,0)，点B(2,0)，点C(0,7)，求得OA=3，OB=2，OC=7，根据三角形的面积公式即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=32+72=58，过C作CH//BD交x轴于H，求得直线BD的解析式为：yBD=-52x+2，得到直线CH的解析式为yCH=-52x+7，求得H(145,0)，得到OH=145，根据勾股定理得到CH=OC2+OH2=7295，过A作AM⊥CH于M,，根据三角形的面积公式得到AM=29，根据等腰直角三角形的判定和性质得到∠CAM=∠ACM=45°，根据平行线的性质即可得到结论；(3)根据旋转的性质得到△ABF是等腰直角三角形，得到AB=BF，∠ABF=90°，把△EBF绕着点B顺时针旋转90°得到△ABQ，推出△EBQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
