2010-2011学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）)1.设集合記ވĖ⩠⩠Ė，記ވሼ⩠ሼ，则使成立的ሼ的值是________．Ė2.不等式ሼ，当且仅当ሼ記________时，等号成立．ሼĖ3.已知函数ሺݔሺݔሺ記ݔሺ数函么那，Ė記ݔሺ，Ė記ݔ的解析式是ሺݔ記________．ĖĖlogሼ4.求值：ሺݔ記________．ሼlgሺݔ5.函数記的定义域为________．Ė6.函数記ĖሺĖݔ的反函数为________．7.设函数ሺݔĖሺ若，ݔܾ、ሼሺĖܾሼ記ݔ記，且对任意实数均有ሺݔ成立，则ሼܾ記________．8.函数ሺݔሺ则，ݔሺ記ݔĖሺ件条足满ܾሼ記ݔ的值为________．9.若函数記的反函数的图象的对称中心是点ሺĖ⩠ݔ，则实数ሼ的值为________．ሼ10.在同一平面直角坐标系中，函数記ሺݔ的图象与記的图象关于直线記对称．而函数記ሺݔሺ若，称对轴于关象图的ݔሺ記与象图的ݔ記Ė，则的值是________．11.设ሺݔሺ足满则，数函的调单是ݔሺ，时当且，数函偶的续连是ݔ記ሺݔ的所有的的和为________．12.定义两种运算：ሼܾ記ሼܾ，ሼܾ記ሺሼܾݔሺ数函则，ݔ記的ሺݔ奇偶性为________．二、选择题（每题4分，共16分）)13.“ሼ記”是“函数ሺݔ⩠ሺ间区在ሼ記ݔ上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.若函数ሺݔሺ記ݔሺ有，的意任对且，数函减为上ݔ⩠ሺ在ݔ，则（）A.ሺݔሺݔሺ.Dݔሺݔሺ.Cݔሺݔሺ.BݔሺݔĖ15.已知函数ሺݔሺ程方是数实若，logݔሺ記ݔ記的解，且Ė，则ሺĖݔሺݔA.恒为负值B.等于C.恒为正值D.不大于16.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为記Ė，值域为ވ⩠Ė㌳的“孪生函数”共有()A.Ė个B.Ė个C.㌳个D.个试卷第1页，总6页
三、解答题)17.已知logሼ記，logሼ記，试用、表示logĖĖ．，18.ሺݔ記，Ė（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式ሺݔĖሺݔ的解集．ܾ19.如果函数記ሺݔ的最小值为，求ܾ的值．20.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用ሺݔ表示学生掌握和接受概念的能力（ሺݔ的值越大，表示接受能力越强），表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：ሺݔ記hĖhሺĖݔ㌳ሺĖĖݔĖሺĖݔ（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲分钟与开讲分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要的接受能力以及Ė分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ሼĖ21.已知函数ሺݔሼሺ記ݔ为奇函数，Ė（1）求ሼ的值；（2）求ሺݔሺĖ数函反的ݔ；ĖĖ（3）解关于的不等式：ሺݔ⩠ሺlogݔ．Ė22.已知函数ሺݔ記ሻĖሻ，其中．（1）当ሼܾ且ሺሼݔ記ሺܾݔ，求ሼܾ的取值范围；（2）是否存在实数ሼ、ܾሺሼܾݔ，使得函数記ሺݔ的定义域和值域都是ሼ⩠ܾ，若存在，求出ሼ、ܾ的值，若不存在，说明理由；（3）若存在ሼ、ܾሺሼܾݔሺܾ⩠ሼ为域值，ܾ⩠ሼ为域义定的ݔሺ記得使，ݔ，求的取值范围．试卷第2页，总6页
参考答案与试题解析2010-2011学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.Ė2.ĖĖĖ3.，ሺ，且ݔ4.5.ሺ⩠ݔ6.記Ėሺݔ7.8.9.Ė10.11.12.奇函数二、选择题（每题4分，共16分）13.A14.D15.C16.C三、解答题17.解：∵logሼ記，∴logሼ記，即logሼlogሼĖĖ記①，又logሼ記，∴logሼlogሼĖĖ記，即logሼlogሼĖĖ記②，联立①②得：logሼ記，logሼĖĖ記．logሼĖĖ∴logĖĖ記記記．logሼ，18.解：（1）对于函数ሺݔሺ，时当，記ݔ記ሺ，ĖݔሺĖݔ；试卷第3页，总6页
ĖĖĖ当时，ሺݔĖሺ記ݔĖሺ記記ݔ記，Ėሺݔሺݔ故函数ሺݔ的图象如图所示．（2）结合函数ሺݔሺ記ݔĖሺ記ݔሺ得可象图的ݔ記，数形结合可得不等式ሺݔĖሺݔ的解集为ވሻĖ⩠或．ܾܾ19.解：̵記Ė記，令̵，解得：ܾ，令̵，解得：ܾ，∴函数在ሺ⩠ܾݔ递减，在ሺܾ⩠ݔ递增，∴函数在記ܾ时取得最小值，ܾ∴ܾ記，解得：ܾ記㌳，ܾ代入函数的不表达式得：記，∵，不合题意，∴記时，函数值最小，ܾ此时：記，解得：ܾ記．20.依题意，①当Ė时，ሺݔĖሺĖh＝hĖh＝ݔ㌳h㌳，故ሺݔĖĖሺĖh＝ݔĖሺ为值大最，增递时Ė在ݔ㌳h㌳＝㌳，②当ĖĖ时，ሺݔ㌳，③当Ė时，ሺݔሺ且，数函减为ݔ㌳，因此，开讲Ė分钟后，学生达到最强接受能力（为㌳），能维持分钟时间．∵ሺݔĖሺĖh＝ݔ㌳h㌳＝h，ሺݔ＝Ė＝h，∴开讲分钟时学生的接受能力比开讲分钟时要强一些．当Ė时，令ሺݔ＝，解得＝或（舍），Ė当Ė时，令ሺݔ＝，解得＝Ė，ĖĖ因此学生达到（含超过）的接受能力的时间为Ė＝ĖĖĖ，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．21.解：（1）∵函数的定义域为ވሻ且ሺݔ是奇函数，∴ሺݔሺ記ݔ，即ሺݔሺݔ記，试卷第4页，总6页
ሼĖሼĖ即記，ĖĖሼሼĖ则記，ĖĖ即ሼሼĖ記，则ሺĖሼݔĖሺݔ記，∵，∴Ėሼ記．即ሼ記Ė．Ė此时ሺݔ記．ĖĖ（2）由記得ሺĖݔ記Ė．Ė即記Ė，即ሺĖݔ記Ė，当記Ė时，方程等价为記Ė，不成立，∴Ė，ĖĖ则記，由記得Ė或Ė，ĖĖ即函数ሺݔ⩠ĖሺݔĖ⩠ሺ为域值的ݔ，ĖĖ由記，得記log，ĖĖĖĖ即ሺݔ⩠ĖሺݔĖ⩠ሺ，log記ݔሺ数函反的ݔ；ĖĖĖ（3）∵ሺݔ⩠ሺlogݔ．ĖĖ∴loglogሺ⩠ݔ．Ė①若，则Ė，即Ė，∵ሺ⩠Ėݔ⩠Ėሺݔ；∴此时Ė，ĖĖĖĖ此时不等式等价为，即，ĖĖ则Ė，即ĖĖ，②若，则Ė，即Ė，∵ሺ⩠Ėݔ⩠Ėሺݔ；∴此时Ė，ĖĖĖĖ此时不等式等价为，即，ĖĖ则Ė，即ĖĖ，综上若，不等式的解集为ሺĖ⩠Ėݔ，若，不等式的解集为ሺĖ⩠Ėݔ．ĖĖ，Ė22.解：（1）ሺݔ記，ĖĖ，Ė若ሼ，ܾሺ⩠Ėݔ，ሺݔ递减，ሺሼݔሺܾݔ不成立；若ሼ，ܾĖ⩠ݔܾሺݔሼሺ，增递ݔሺ，ݔ不成立；若ሼሺ⩠Ėݔܾሺ記ݔሼሺ则，ݔ⩠Ėܾ，ݔ即为试卷第5页，总6页
ĖĖĖĖĖ記Ė，即有記，ሼܾሼܾĖĖሺݔĖ由，ሼܾሺݔሼܾĖ即有Ė，解得ሼܾĖ．ሼܾ则ሼܾ的取值范围是ሺĖ⩠ݔ；（2）不存在实数ሼ，ܾ满足条件．假设存在实数ሼ，ܾ，使得記ሺݔ的定义域和值域都是ሼ⩠ܾ，而，，所以应有ሼ，ĖĖ，Ė又ሺݔ記，ĖĖ，Ė①当ሼ，ܾሺ⩠Ėݔ时，ሺݔ在ሺ⩠Ėݔ上为减函数，Ėሺሼݔ記ܾሼĖ記ܾ故有，即，ሺܾݔ記ሼĖĖ記ሼܾ由此可得ሼ記ܾ，此时实数ሼ，ܾ的值不存在．②当ሼ，ܾሺĖ⩠ݔ时，ሺݔ在ሺĖ⩠ݔ上为增函数，Ėሺሼݔ記ሼĖሼ記ሼ故有，即，ሺܾݔ記ܾĖĖ記ܾܾ由此可得ሼ，ܾ是方程Ė記的根，但方程无实根，所以此时实数ሼ，ܾ也不存在．③当ሼሺ⩠Ėݔ，ܾሺĖ⩠ݔ时，显然Ėሼ⩠ܾ，而ሺĖݔ記ሼ⩠ܾ不可能，此时ሼ，ܾ也不存在．综上可知，符合条件的实数ሼ，ܾ不存在；（3）若存在实数ሼ，ܾ使函数記ሺݔሺܾ⩠ሼ为域值，ܾ⩠ሼ为域义定的ݔ．由ܾሼ，ܾሼ得，而ሼ，所以ሼ，由ሺ,Ėݔ知ሼ，ܾሺ⩠Ėݔ或ሼሺ⩠Ėݔ，ܾሺĖ⩠ݔ时，适合条件的实数ሼ，ܾ不存在，故只能是ሼ，ܾሺĖ⩠ݔ，Ė∵ሺݔ⩠Ėሺ在Ė記ݔ上为增函数Ėሺሼݔ記ሼĖሼ記ሼ∴，即，ሺܾݔ記ܾĖĖ記ܾܾ∴ሼ，ܾ是方程Ė記的两个不等实根，且二实根均大于Ė，記Ė∴ĖĖ，解之得Ė，ĖĖĖ故实数的取值范围是ሺ⩠ݔ．试卷第6页，总6页
