龙泉中学2020届高考适应性考试(一)理科数学试题本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，则()A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.1B.2C.3D.44.函数在的图像大致为()A．B．C．D．5．已知，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC.b＜a＜cD．c＜a＜b6.设点不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设奇函数在（0，+∞）上为增函数，且=0．则不等式的解集是()A．（-1，0）（1，+∞）B．（-1，0）（0，1）C．（-∞，-1）（1，+∞）D．（-∞，-1）（0，1）8.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a、b，再统计出a、b、1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（）A．B．C．D．9.函数的零点个数是()A．0B．1C．2D．与a有关10.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（）A．72B．84C．96D．12011.已知数列满足,记表示不超过的最大整数,则的值为()A.2019B.2020C.4037D.403912.在菱形中,,分别是边的中点,现将沿着对角线翻折,则直线与平面所成角的正切值最大值为()A.B.C.D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.14.已知，则__________.15.已知是双曲线的左、右焦点,关于双曲线的一条渐近线的对称点为,且点在抛物线上,则双曲线的离心率为______.16.设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是___________三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，（Ⅰ）求与的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．第5页共5页
18．（本小题满分12分）如图所示，已知四边形是菱形，平面平面，，.（I）求证：平面平面.（II）若，求二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安装，但由于条件限制，最多能安装6台.根据最近20年统计的生产资料数据，每年至少生产该液体化工产品40吨，且得到液体化工产品年产量X的数据如下表：液体化工产品年产量X（吨）年数31862（I）对于液体化工产品，如果年产量不低于100吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终奖金；如果年产量不足100吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在统计的20年中有5年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保留分数形式）（II）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量X在相应段的频率作为概率.（i）试求未来3年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于100吨的概率；（最后结果保留分数形式）（ii）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化工产品年产量X的限制，并有如下关系：液体化工产品年产量X（吨）提取设备最多可运行台数3456对于每台提取设备，若正常运行，则可获年利润约50万元，否则年亏损10万元.问应安装多少台稀有金属提取设备，可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润？并说明理由.20．（本小题满分12分）椭圆的左、右焦点分别为轴,直线交y轴于点,为椭圆上的动点,面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，问：四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若在上存在单调递增区间,求实数的取值范围；（Ⅱ）设,若,恒有成立,求的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与和分别交于点,求．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为,且,求证：.第5页共5页
龙泉中学2020届高考适应性考试(一)理科数学参考答案一．选择题答案题号123456789101112答案CDBDBCBBABDD二．填空题13．；14．；15．；16．．三．解答题17.（Ⅰ）由题意，设正项等比数列的公比为，由题意知，，则，解得或（舍去），则；…………（3分）当时，，…………………（5分）当时，，所以.…………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当为奇数时，，当为偶数时，，则……（12分）18.（1）证明：菱形中，，又平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.………………………………………………………………………………（4分）（2）设与交于点O，连接，因为，且，四边形是平行四边形，.，，又平面平面，平面平面，平面，平面.以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直………………（6分）角坐标系，如图所示.则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.………………（8分）又平面的法向量为.………（9分）设二面角的大小为，则为锐角.，……………………………（11分）二面角的余弦值为.……………………………………………………（12分）19.（1）.………………………………………………………………………（2分）（2）（i），所以，所以年产量不低于100吨的概率为，低于100吨的概率为，记未来3年中该液体化工产品年产量不低于100吨的年数为Y，则，所以在未来3年中至少有一年年产量不低于100吨的概率.(5分)（ii）记该企业在稀有金属提取项目中所得总利润为（单位：万元）.由题得，要使获得利润尽量大，应至少安装3台提取设备，①若安装3台提取设备，则在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.……（6分）②由题知，液体化工产品年产量的概率为，此时可运行3台设备，年产量的概率为，此时可运行4台.若安装4台提取设备，则3台运行，1台不运行的概率为，4台运行的概率为，所以离散型随机变量的分布列为（单位：万元）140200P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.………………（8分）③若安装5台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为（单位：万元）130190250P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.……（10分）④若安装6台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为（单位：万元）120180240300P此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.第5页共5页
综上，当安装5台提取设备时，稀有金属提取项目所获总利润为205万元，大于其他情况，所以安装5台稀有金属提取设备能获得该项目的最大总利润.……………………………………………（12分）20.（1）∵轴，∴，∴∵是的中位线，且，∴,即，整理得①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，∴②联立①②可得，变形得，解得,∴．∴椭圆的方程式为．…………（4分）（2）设，则由对称性可知，设直线与x轴交于点，则直线的方程为，联立，消去x得，∴，………………………………………（6分）由三点共线知，即，将代入整理得，∴∴，化简得，解得，………………（9分）∴直线的方程为，故直线过定点．………………（10分）同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为．………………………（12分）21.（1）由，得，由在上存在单调递增区间，可得在上有解，即在上有解，则，∴，∴的取值范围为.…………………………………………………（4分）（2）设，，则.设，则，∴单调递增，即在上单调递增∴.…………（6分）当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；当时，，在上单调递减，，符合题意；当时，由于为一个单调递增的函数，而，，则必存在一个零点，使得，从而在上单调递减，在上单调递增，因此只需，∴，∴，从而，综上，的取值范围为，………………………………………………（10分）因此.设，则，令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，从而，∴的最小值为.………………………（12分）22.（1）由可得，由，消去参数，可得直线的普通方程为．（范围掉了扣一分）…（3分）由可得，将，代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程为．………………………………………（5分）（2）由（1）得，的普通方程为，将其化为极坐标方程可得，当时，，，所以．…………（10分）23.（1）当时，等价于，该不等式恒成立；当时，等价于，该不等式不成立；当时，等价于，解得，所以不等式的解集为.…………………………………………（5分）（2）因为，当时取等号，所以,，第5页共5页
由柯西不等式可得,当且仅当时等号成立，所以.………………………………（10分）第5页共5页
