2020-2021学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合＝‸㈱‸，＝ᦙ䁡ᦙ䁡，那么＝（）A.B.䁡C.ᦙ䁡ᦙD.ᦙ䁡ᦙ2.若命题‸R，‸‸，则￢为（）A.‸R，‸‸䁕B.‸R，‸‸䁕C.‸R，‸‸D.‸R，‸‸䁕3.已知为虚数单位，复数＝sinᦙcos，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设，则“ᦙͻܽ”是“ܽͻ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件‸䁡5.函数在ᦙㄴㄴ的图象大致为()‸ᦙ‸A.B.C.D.6.已知＝log，＝log，＝′ㄷᦙ，则，，的大小关系为（）䁡A.ܽܽB.ܽܽC.ܽܽD.ܽܽ7.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍．再将图试卷第1页，总7页,象向左平移个单位长度，得到函数＝‸‸㤮的图象，则函数＝‸‸㤮图象的一个对称中心为（）A.B.C.‸㤮D.8.某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度‸（单位：）满足函数关系‸（′为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是ͻ小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在䁡䁡的保鲜时间是（）A.ㄴ小时B.小时C.小时D.小时9.在中，＝䁡，＝ㄷ，点满足，点为的外心，则的值为（）ㄷͻA.B.C.D.ㄴ二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.)10.设＝ᦙ䁡（是虚数单位），则＝________．11.已知函数‸，则‸在‸处的导数________．ᦙ‸‸12.若sincos＝，则tan＝________；tan＝________．13.已知平面向量，满足‸ᦙ㤮，‸ᦙ䁡㤮，且‸㤮，则㈱㈱________．14.已知实数，满足䁕，则-的最大值为________．15.已知函数‸‸㤮＝，其中䁕．若‸‸㤮在区间‸㤮上单调递增，则的取值范围是________；若存在实数，使得关于‸的方程‸‸㤮＝有三个不同的根，则的取值范围是________．三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16.在中，角，，所对的边分别为，，．已知sinsinsin＝䁡．‸Ⅰ㤮求角；试卷第2页，总7页,‸Ⅱ㤮求cos‸ᦙ㤮的值．17.已知函数‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸‸R㤮．‸㤮若‸㤮䁡，求实数的值；‸㤮若‸‸㤮有最小值，求实数的取值范围；‸䁡㤮设‸‸㤮为定义在R上的奇函数，且当‸ܽ时，‸‸㤮‸‸㤮，求‸‸㤮的解析式．18.已知函数‸‸㤮＝sin‸sin‸ᦙ‸㤮sin‸‸）‸‸㤮．‸Ⅰ㤮求‸‸㤮的最小正周期；‸Ⅱ㤮求‸‸㤮的单调递减区间；‸Ⅲ㤮求‸‸㤮在区间，]上的取值范围．19.设函数‸‸㤮＝‸䁡ᦙ䁡‸㤮‸ㄴ‸，其中，．‸Ⅰ㤮若曲线＝‸‸㤮在（ᦙ‸ᦙ㤮）的切线方程为＝‸䁡，求，的值；‸Ⅱ㤮若‸‸㤮在‸＝䁡处取得极值，求的值；‸Ⅲ㤮若‸‸㤮在‸ᦙ㤮上为增函数，求的取值范围．‸20.设函数‸‸㤮，‸‸㤮＝ln‸．‸‸‸Ⅰ㤮若直线‸＝‸䁕㤮与曲线‸‸㤮和‸‸㤮分别交于点和，求㈱㈱的最小值；‸Ⅱ㤮设函数‸‸㤮＝‸‸‸㤮‸‸㤮，当‸ln㤮时，证明：‸‸㤮存在极小值点‸，且‸‸ln‸㤮ܽ．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.A5.B6.B7.D8.C9.D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.11.12.ᦙ,13.14.15.‸䁡,‸䁡㤮三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）因为sinsinsin＝．所以由正弦定理可得＝䁡，设＝，＝，其中䁕，可得cos＝＝＝，因为‸㤮，可得＝．（2）由‸Ⅰ㤮可得cos＝＝＝-，可得sin＝＝，cos＝cosᦙ＝-，sin＝sincos试卷第4页，总7页,＝-，可得cos‸ᦙ㤮＝coscossinsin＝（-））．17.解：‸㤮若‸㤮䁡，则‸㤮㈱ᦙ㈱䁡，时，ᦙ，解得ᦙ(舍)；ܽ时，ᦙ，解得.综上可知，.‸㤮∵‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸，‸㤮‸ᦙ‸∴‸‸㤮‸ᦙ㤮‸‸ܽ′又函数‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸‸R㤮有最小值，∴解得ᦙ，ᦙ即当ᦙ时，‸‸㤮有最小值.‸䁡㤮∵‸‸㤮为定义在R上的奇函数，∴‸㤮.设‸䁕，则ᦙ‸ܽ，当‸ܽ时，‸‸㤮‸‸㤮‸ᦙ㤮‸，当‸䁕时，‸‸㤮ᦙ‸ᦙ‸㤮‸ᦙ㤮‸ᦙ，‸ᦙ㤮‸‸ܽ∴‸‸㤮‸‸ᦙ㤮‸ᦙ‸䁕′18.（1）函数‸‸㤮＝sin‸ㄴsin‸ᦙ‸㤮sin‸‸）＝ㄴ＝sin‸ᦙcos‸ㄷ＝sin‸‸ᦙ），所以‸‸㤮的最小正周期为＝＝；（2）令ㄴ‸ᦙ，；‸；试卷第5页，总7页,所以‸‸㤮的单调递减区间为[，，；‸Ⅲ㤮由‸，]，得‸ᦙ，]；所以sin‸䁡‸ᦙ）ᦙ，所以sin‸‸ᦙ）；即‸‸㤮在区间，]上的取值范围是．19.（1）∵‸‸㤮＝‸䁡ᦙ‸㤮‸䁡‸，∴‸‸㤮＝ㄴ‸ᦙ‸㤮‸ㄴ，故‸ᦙ㤮＝ᦙͻᦙㄷ，‸ᦙ㤮＝，故切线方程是：ͻㄷᦙ＝‸㤮‸‸㤮，整理得：＝‸㤮‸䁡＝‸䁡，故，解得：；（2）‸‸㤮＝ㄴ‸ᦙㄴ‸㤮‸ㄷ＝ㄴ‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙ㤮，∵‸‸㤮在‸＝处取得极值，∴‸䁡㤮＝ㄴ‸䁡ᦙ㤮‸ᦙ㤮＝，经检验当＝䁡时，‸＝䁡是‸‸㤮的极值点；‸Ⅲ㤮令‸‸㤮＝ㄴ‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙㄷ㤮＝，解得：‸＝，‸＝，当ܽ时，若‸‸ᦙ㤮，故‸‸㤮在‸ᦙ㤮和‸，故ܽ时，‸‸㤮在‸ᦙ，当ㄷ时，若‸‸ᦙ，‸，则‸‸㤮䁕，故‸‸㤮在‸ᦙ㤮，㤮递增，故‸‸㤮在‸ᦙ㤮递增，综上，当‸‸㤮在‸ᦙ．‸‸‸ᦙ‸20.（1）设函数‸‸㤮‸‸㤮ᦙ‸‸㤮ᦙln‸ᦙ‸‸䁕㤮，则‸‸㤮ᦙ‸‸‸‸‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙ㤮，‸‸当‸‸㤮时，‸ᦙ䁕，故当‸‸㤮时，‸‸㤮ܽ，‸‸㤮单调递减，当‸‸㤮时，‸‸㤮䁕，‸‸㤮单调递增，∴‸‸㤮在‸㤮上有最小值‸㤮＝ᦙ，∴当＝时，㈱㈱的最小值为ᦙ；‸‸（2）证明：‸‸㤮‸ln‸㤮，则‸‸㤮‸ᦙln‸㤮，‸‸‸‸因为䁕，所以‸‸㤮与ᦙln‸同号．‸‸试卷第6页，总7页,‸ᦙ‸‸‸ᦙ㤮设‸‸㤮ᦙln‸，则‸‸㤮䁕，‸‸‸䁡‸䁡故‸‸㤮在‸㤮单调递增，因‸ln㤮，‸㤮＝䁕，‸㤮lnܽ，所以存在‸‸㤮，使得‸‸㤮＝，当‸‸‸㤮，‸‸㤮ܽ，‸‸㤮单调递减；当‸‸‸㤮，‸‸㤮䁕，‸‸㤮单调递增；所以若‸ln㤮，存在‸‸㤮，使得‸是‸‸㤮的极小值点，ᦙ‸由‸‸㤮＝得‸ᦙ‸ln‸，即ln‸‸ᦙ‸‸，所以‸‸ln‸㤮‸ᦙ‸ܽ．‸试卷第7页，总7页
