2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.直线线㐮㈱的倾斜角是（）A.B.C.D.㈱2.圆㐮㈱㈱㐮㈱线与圆䁪㈱㈱㐮䁪㈱线的位置关系为（）A.相交B.相离C.外切D.内切㈱㈱3.若双曲线䁪线的一条渐近线方程为＝㈱，则的离心率为㈱㈱（）A.B.C.D.㈱㈱4.如图，平行六面体ܤܥ䁪ܤܥ中，与ܤܥ交于点，设ܤ线ܥ线线，则ܤ线A.䁪䁪䁪B.㐮䁪㈱㈱㈱㈱C.䁪䁪D.䁪㐮䁪㈱㈱㈱㈱5.已知线䁪㈱䁪，线㈱，线䁪䁪㈱，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.6.已知平面的法向量为线䁪㈱䁪㈱，点在平面内，则点䁪㈱到平面的距离为，则线A.䁪B.䁪C.䁪或䁪D.䁪㈱7.过抛物线㈱线的焦点的直线交抛物线于，ܤ两点，为线段ܤ的中点，则以线段ܤ为直径的圆一定（）试卷第1页，总9页,A.经过原点B.经过点䁪C.与直线线䁪相切D.与直线线䁪相切8.如图，四棱锥䁪ܤܥ中，底面ܤܥ是边长为㈱的正方形，平面ܤܥ，为底面ܤܥ内的一动点，若ܤ线，则动点的轨迹在（）A.圆上B.双曲线上C.抛物线上D.椭圆上二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9.已知直线过点㈱，在轴和轴上的截距相等，则直线的方程可能为（）A.䁪㐮㈱线B.㐮䁪线C.线㈱D.㈱䁪线㈱㈱10.椭圆㐮线的焦距为㈱，则的值为（）A.B.㈱C.䁪D.㐮11.已知为直线的方向向量，，㈱分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列选项中，正确的是()A.㈱B.㈱C.D.12.已知曲线㈱㐮㈱＝．（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若＝，则是圆，其半径为C.若㜵，则是双曲线，其渐近线方程为＝䁪D.若＝，，则是两条直线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.两条平行直线䁪㐮＝与㈱㐮㈱䁪＝之间的距离为________．14.已知点㈱，ܤ㈱，䁪，若，ܤ，三点共线，则线________．15.已知圆的圆心在第一象限，且在直线线㈱上，圆与抛物线㈱线的准线试卷第2页，总9页,和轴都相切，则圆的方程为________．16.设为方程㐮㈱㐮㈱㐮䁪㈱㐮㈱＝㈱表示的曲线上的点，、分别为圆㐮㈱㐮㈱线和圆䁪㈱㐮㈱线上的点，则㐮的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶㈱时，水面宽．若水面下降，求水面的宽度．18.一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、ܤ的坐标分别为：、ܤ，动点满足线㈱ܤ．（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；（2）过㈱作该圆的切线，求的方程．19.在正方体ܤܥ䁪ܤܥ中，棱长为．（1）求直线ܤ与直线ܤܥ所成角的余弦值；（2）求点到平面ܤܥ的距离．20.在①离心率线，②椭圆过点，③㈱面积的最大值为，这三个㈱㈱条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．㈱㈱设椭圆㈱㐮㈱线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为㈱，①离心率线．㈱（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．21.如图，四边形ܤܥ是边长为㈱的菱形，ܤܥ线，ܥ平面ܤܥ，ܤܥ，且ܥ线㈱ܤ线㈱．试卷第3页，总9页,（1）求直线ܥ和平面所成角的大小；（2）求平面与平面ܥ的夹角的大小．22.如图，在直角坐标系2中，ܥ轴，点ܥ为垂足，点在线段ܥ的延长㈱㈱线上，且满足ܥ线ܥ．当点在圆㐮线上运动时．㈱（1）求点的轨迹的方程；（2）直线线㐮交曲线于，ܤ两点，求2ܤ面积的取值范围．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.B,D10.A,B11.A,B12.A,C,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.䁪㈱㐮䁪㈱㈱线16.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为㈱线䁪㈱ʹ，∵水面离拱顶㈱时，水面宽∴点㈱䁪㈱在抛物线上，所以ʹ线，㈱线䁪㈱，∵水面下降，即线䁪而线䁪时线，所以水面宽为㈱．∴若水面下降，水面的宽度为㈱18.设动点坐标为，则线䁪㈱㐮㈱，ܤ线䁪㈱㐮㈱，又知线㈱ܤ，则䁪㈱㐮㈱线㈱䁪㈱㐮㈱，得㈱㐮㈱线．当直线的斜率存在为时，则直线的方程为线䁪㈱㐮，与圆相切，试卷第5页，总9页,䁪㈱㐮则线线㈱，得线，此时的方程为䁪㈱㐮㈱线；㈱㐮㈱当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为线㈱，综上：直线的方程为线㈱与䁪㈱㐮㈱线．19.依题意，ܤ，ܥ，是两两互相垂直的，以为坐标原点，以ܤ、ܥ、的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，ܤ，，，ܥ，ܤ∴ܤ线，ܤܥ线䁪䁪ܤܤܥ设直线ܤ与直线ܤܥ所成的角为，∴cos线线线ܤܤܥ即直线ܤ与直线ܤܥ所成角的余弦值为由（1）知ܤ线䁪，ܤܥ线䁪䁪，ܤ线ܤ线䁪线设平面ܤܥ的一个法向量线，则，∴䁪㐮䁪线ܤܥ线令＝，则＝，＝，此时线，ܤ㈱∴线线线，㈱㈱㈱∴点到平面ܤܥ的距离为．㈱法二：（等体积法）设到ܤܥ的距离为，䁪ܤܥ线ܤܥ线㈱㈱，ܤ线线，䁪ܥ㈱㈱∵䁪ܤܥ线ܤ䁪ܥ，∴线㈱．线㈱䁪㈱线，20.选择①离心率线，可得线，㈱＝㈱，即线㈱㈱㈱㈱解得＝㈱，＝，即有椭圆的方程为㐮线；试卷第6页，总9页,选②椭圆过点，即有㐮线，又㈱＝㈱，即线，解得＝㈱，㈱㈱㈱㈱㈱即有椭圆的方程为㐮线；选③㈱面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为㈱㈱线，即为线，又㈱＝㈱，即线，＝，线㈱㐮㈱线㈱，㈱㈱即有椭圆的方程为㐮线；证明：设直线的方程为＝㐮，联立椭圆方程可得㐮㈱㈱㐮㈱㐮㈱䁪㈱＝，㈱㈱䁪㈱设，㈱㈱，可得㐮㈱线䁪㐮㈱，㈱线㐮㈱，㈱㈱㈱㈱䁪㈱㐮㈱可得线㐮㐮㈱䁪㈱线㐮㐮㈱㈱䁪㐮㈱线㐮㈱，㐮㈱㈱设的中点为点，可得点线线䁪，线，㈱㐮㈱㐮㈱㈱由题意可得线㐮㈱线䁪，解得线䁪，㈱㐮㈱䁪㈱䁪㐮㈱㐮㈱可得＝䁪㐮㈱线㈱，㐮㐮可得线，即为定值．21.取ܤ的中点，连接ܥ，∵菱形ܤܥ，ܤܥ线，∴ܥ线，即ܥܥ，以ܥ为原点，ܥ、ܥ、ܥ分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则ܥ，㈱，，㈱，∴ܥ线㈱，线䁪，线䁪㈱㈱，䁪㐮㐮＝设平面的法向量为线，则，即，＝䁪㈱㐮㈱＝令线，则线，线，∴线，设直线ܥ和平面所成角为，㈱㈱则sin线cos㜵ܥ，线ܥ线线，㈱㈱㈱∵，∴线，㈱故直线ܥ和平面所成角的大小为．试卷第7页，总9页,由（1）知，ܥܥ，∵ܥ平面ܤܥ，∴ܥܥ，又ܥܥ线ܥ，ܥ、ܥ平面ܥ，∴ܥ平面ܥ，∴平面ܥ的一个法向量为线，∴cos㜵，线线，故平面与平面ܥ的夹角的大小为．㈱22.设，，则ܥ，线，ܥ线，ܥ线，∵ܥ线ܥ，∴线，㈱㈱∵在圆㈱㐮㈱线上运动，∴㈱㐮㈱线，㈱㈱㈱㈱把线，线，代入可得：㐮线，即㐮线，㈱∵ܥ线ܥ，∴ܥ，∴，㈱㈱㈱∴点的轨迹的方程为㐮线．设，ܤ㈱㈱，则直线与椭圆方程联立，消去，化简整理得㈱㐮㈱㐮䁪线，∴㐮㈱线䁪㈱㐮，㈱线䁪㈱㐮，因为直线线㐮恒过定点，㈱所以2ܤ的面积线䁪㈱线㐮㈱䁪㈱㈱㈱㈱㈱㐮㈱㐮线㐮线线㈱㈱㈱㐮㈱㈱㐮㈱㐮㈱㈱㐮㈱㐮㈱㈱㐮㐮线㈱，㈱㐮㐮㐮㈱㈱㐮㈱㈱∵，所以㐮，∴由对勾函数的性质可得㐮㐮，㈱㐮∴2ܤ的面积．㈱㈱㈱又∵椭圆方程㐮线中，试卷第8页，总9页,∴直线不能过点，即2ܤ面积，∴2ܤ面积的取值范围为．㈱试卷第9页，总9页
