教学基本信息课题一次函数的综合运用（二）学科数学学段：7-9年级八年级教材书名：人教版八年级下册教科书出版社：人民教育出版社出版日期：2013年12月教学目标及教学重点、难点解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系（一）教学目标1．会用一次函数的坐标特征表示动点;2．经历用一次函数知识解决动点问题的过程，体会转化思想、方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想;3．提高分析问题，用数学知识解决问题的能力.（二）重难点教学重点：动点的坐标表示教学难点：数形结合思想的运用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，函数是刻画变量之间关系的模型，而一次函数，是诸多函数中，最为简单的一类，应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系我们先来复习一下一次函数的相关知识：一次函数y=kx+b（k≠0）图象：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小强调函数是刻画变量之间关系的模型，点明本章学习的主旨.5
通过学习相关知识，我们肯定对“运动变化和联系对应”这句话有了一些感悟。今天，我们将一起通过对一次函数背景下动点问题的研究，继续深入体会，运动变化和联系对应的关系.例题1.已知：在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于A点,与y轴交于B点，点P从点B出发，沿直线上向下运动.点Q的坐标为（4，0），连接OP，PQ.（1）当PB=PO时,求点P的坐标；（2）当△OPQ的面积等于△ABO面积的一半时，求P点坐标；分析问题：条件分析，结论分析，图形分析任务1：根据题目描述，画出一次函数图象，并确定A,B,Q点的位置.任务2：点P在运动的过程中，描述PB,PO及△OPQ面积的变化趋势.任务3：根据一次函数的表达式，表示点P的坐标.任务4：PB与PO相等时，画出点P的位置.任务5：数形结合，用多种方法建立方程，并比较优劣.任务6：用P点坐标表示△OPQ的面积.任务7：数形结合，确定满足条件的点P的位置.任务8：总结本题，明确一次函数的作用.归纳总结：本题以解析式确定的函数图象上的动点为背景，从图形特征到数量特征，初步体会数形结合思想的运用.第一问充分挖掘PB=PO这个数量特征对应的图形特征，再回归到点P的坐标特征，让学生经历方法的对比与优化，体会数形结合思想解题的重要性.第二问中，对动点P与△OPQ面积的之间的关系进行研究，从动点P的坐标特征与一次函数解析式的关系入手，引导学生从数的角度入手，通过形的特征来描述面积的表示方法，进一步体会数形结合思想.5
(1)充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；(2)充分对图形进行操作，分析动点的轨迹特征；(3)根据动点的量化特征，与其它点之间建立量化关系.2.已知，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A（-4，0）,B（-1，0）C（-1，2）.（1）若直线l:y=kx-2经过点D,求直线L的表达式；（2）若直线l:y=kx-2与矩形ABCD有两个公共点，求k的取值范围.任务1：根据题目中条件的描述，画出满足条件的矩形.任务2：通过分析直线的表达式，描述这条直线的位置特征.任务3：由直线经过点D的条件，列出满足条件的方程.任务4：在k变化的过程中，描述这条直线与矩形的公共点个数.任务5：数形结合，确定恰好不满足条件的直线.任务6：分别列方程，求出两种情况下的k值.任务7：利用一次函数的性质，写出k的取值范围.任务8：总结本题，明确一次函数的作用.本题以过定点的一次函数图象为背景，通过分析该图象上点的坐标特征，结合一次函数的基本性质，解决问题.第一问的设置，意在让学生体会，要想确定解析式，只需要一个满足条件的点坐标即可.使学生体会找到满足条件的点坐标是解决问题的关键.5
归纳总结：(1)充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；(2)充分对图形进行操作，分析直线随k值的变化特征；(3)找到临界状态，并结合图形进行量化表示.3.已知：在平面直角坐标系xOy中,点A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于直线l的对称点落在坐标轴上.任务1：根据题目中条件的描述，标出各点位置，并画出一次函数图象的初始状态.任务2：通过分析直线的表达式，描述这条直线的位置特征.任务3：运动3秒时，写出点P的坐标.任务4：写出此时直线的表达式.任务5：在时间t的变化过程中，确定b与t的关系.任务6：数形结合，确定恰好不满足条件的直线.任务7：分别列方程，求出两种情况下的t值.任务8：通过图形操作，明确点M关于直线l的对称点的位置特征.任务9：数形结合，确定满足条件点的坐标特征.任务10：总结本题，明确一次函数的作用.归纳总结：第二问的设置，希望学生体会，随着k的变化，直线上的点如何运动？直线与矩形之间的位置关系如何变化.在操作的过程中，引导学生体会，寻找临界位置的重要性.本题以k确定的一次函数图象特征为背景.通过分析图象上点的坐标特征，结合一次函数的基本性质解决问题.第一问仍然设置为利用点的坐标满足函数解析式，确定参量b的值，初步体会方程思想.第二问设置M,N异侧背景的图形描述，通过学生充分操作，了解一次函数图象与点M,N之间的位置关系变化，结合第一问的解题经验，确定t的范围.第三问的设置，意在让学生初步体会该一次函数除了需要研究坐标特征外，还有丰富的图形特征.利用几何性质来建立变量之间的联系的优势.5
(1)充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；(2)充分对图形进行操作，分析直线随b值的变化特征；(3)找到临界状态，并结合图形进行量化表示.总结一次函数是我们学习的较为简单的函数，通过对它的研究，我们可以掌握研究函数问题的基本方法，并能深入体会数形结合思想的运用.通过本节课的学习，我们应该对与一次函数相关的动点问题有以下归纳：对于一次函数的动点问题的解决建议：（1）通过分析条件，明确一次函数的几何与代数特征（2）利用数形结合思想，建立图形与坐标之间的联系（3）通过数量关系构造方程进行求解作业如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是蓝色区域（含正方形边界），其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到蓝色区域时，区域便由蓝变红，则能够使蓝色区域变红的b的取值范围为 ．012215
