教学基本信息课题一次函数综合：实际问题应用学科数学学段：7-9年级八年级教材书名：人教版八年级下册教科书出版社：人民教育出版社出版日期：2019年11月教学目标及教学重点、难点解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系（一）教学目标1．会用一次函数的知识解决生活中的问题；2．经历用一次函数知识解决实际问题的过程，体会转化思想、方程思想、函数模型思想以及数形结合思想；3．提高分析问题，用数学知识解决实际问题的能力。（二）重难点教学重点：用一次函数知识解决生活中的实际问题教学难点：将实际问题转化为数学问题解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图一、知识回顾解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系通过前面的学习，我们已经研究了一次函数的相关知识，主要有哪些内容呢？回忆一次函数的相关内容，为后面解决问题做铺垫。8
2.我们通过几道题目回忆一下相关知识：（1）某通讯公司每月收取月租费50元，每通话1分钟再收费0.4元，若某月通话x分钟，则话费y与x之间的函数表达式为____________；（2）画出函数y=0.4x+50的图象；（3）如图：两直线a和b分别表示甲乙两人跑步路程和时间的关系，由图象可知，当t_____时，甲跑步的路程等于乙跑步的路程；当t_____时，甲跑步的路程大于乙跑步的路程。通过上面的题目，我们回忆了一次函数的知识。在一次函数学习过程中，首先我们是从实际生活中的例子引出，抽象出一次函数的概念，可见数学来源于生活,之后我们对一次函数的图象和性质进行了研究，在生活中有很多问题都符合一次函数的模型，如匀速行驶的汽车、水费付费、手机通讯话费….可以用一次函数的知识来解决。今天我们继续用一次函数的知识解决生活中的问题。复习利用函数模型解决实际问题的基本过程。（1）列函数解析式，（2）有了函数解析式可以画出它的图像，（3）利用函数图像数形结合解决问题，熟悉交点的含义，以及利用函数图像比较函数值的大小。8
二、探究学习，解决问题例1：某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲，y乙（单位：元），y甲，y乙与销售量x（单位：件）的函数关系如图所示，请你根据图象解决下列问题：（1）分别求出y甲、y乙与x的函数关系式；（2）现在厂家有商品500件，单独分配给甲商场或乙商场，分配给哪个商场，厂家获得的利润更高？（3）现在厂家有商品1200件，分配给甲商场和乙商场，如何分配，厂家获得的总利润最大？分析问题：图像条件分析任务1：图形给了哪些条件？如何利用这些条件求出y甲、y乙与x的函数关系式；任务2：已知函数关系式和图像，如何比较函数值的大小？本题中函数值的大小对应的实际意义是什么？任务3：请回答例题的第二问。你能用两种方法说明吗？任务4：如何求利润总和？如果设分配给乙商场x件商品，则分配给甲商场多少件？用含x的关系式表示出利润总和y。例1选取阅读两较少的，已知函数图像的题目，体会函数在实际问题中的应用方法以及重要作用，近一步体会数形结合的直观性。（1）已经给出变量和函数图像，从解决函数问题的环节开始。（2）已知x求函数值，关注分段函数的取其范围。数形结合。8
做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，作出合理的选择。在选择方案时，怎样从数学角度进行分析，这就涉及变量的问题，常会用到函数．请看下面问题：例2：怎样选取上网收费方式？下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）A30250．05B50500．05C120不限时选取哪种方式能节省上网费？任务1：哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？影响网费变化的因素是什么？任务2：一定会产生超时费吗？什么情况下产生超时费？不一定，和上网时间有关，超过包时上网时间后才会产生超时费。任务3：设上网时间为t小时，所需费用为y，你能表示出方式A的上网费用吗？当0≤t≤25时，y＝30；例2并未给出变量，需要学生自己找出变量，建立函数模型。通过问题1引导学生找出问题中的变量，为抽象函数模型准备。问题2，超时费不一定会产生，时间不超过25不会产生，超过25会产生，为学生表达A的费用需讨论时间的范围，需要分段打下基础，让学生从粗到细的感知问题的整体结构8
当t＞25时，y＝30＋0.05×60（t－25），即y＝3t－45；∴任务4：类比方式A，你能用数学关系式表示出方式B中上网费用y与上网时间t的关系吗？方式C呢？y3=120.和数量关系，感知上网费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究对象，引导学生最终把问题转化为一次函数问题．三、建立模型，解决问题任务5：你能在同一坐标系下画出三个函数关系式的图像吗？任务6：函数交点是什么意思？如何求交点坐标？y1=y2时，3t－45=50，解方程，得t=3123；y2=y3时，3t－100＝120，解方程，得t=7313；任务7：比较函数、、的大小呢？任务8：上述比较函数值大小结果的实际意义是什么？当上网时间不超过31小时40分钟时，选择方式A最省钱；上述分段函数问题，需要在画出函数图象观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生感受函数图象与方程、不等式数形结合的方法．教师引导学生解释上述结果的实际意义．解释函数模型中解的实际意义，从而解决实际问题．8
当上网时间为31小时40分钟至73小时20分钟时，选择方案B最省钱；当上网时间超过73小时20分钟时，选择方案C最省钱．例3：A地有肥料200吨，B地有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两城．从A地往C、D两城运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B地往C、D两城运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C城需要肥料240吨，D城需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？任务1：分析整理已知条件：A地C城200t240tB地D城300t260t20元25元24元15元A地C城200t240tB地D城300t260t20元（x吨）25元（）24元（）15元（）任务2：如果设A地运往C城x吨，则运往D地多少吨？B地需要运往C城多少吨？B地运往D地多少吨？A地运往C城的肥料量为x吨，则运往D城的肥料量为（200-x）吨．B地运往C、D城的肥料量分别为（240-x）吨与（60+x）吨．8
任务3：总运费包括哪些？请分别表示出来。总运费包括：A→C的运费：20xA→D的运费：25（200-x）B→C的运费：15（240-x）B→D的运费：24（60+x）任务4：设总运费为y元，则y与x的关系式是什么？x的取值范围是多少？你能画出它的图像吗？解：设总运费为y元，y与x的关系式为：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤200）．任务5：上述函数有没有最小值？它的实际意义是什么？由图象（或函数关系式子）可看出：当x=0时，y有最小值10040，因此，从A地运往C城0吨，运往D城200吨；从B地运往C城240吨，运往D城60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元．四、归纳总结、提升思想方法小结用一次函数解决实际问题的基本思路：（1）明确问题的目标，发现问题中数量之间的关系；（2）分析变量，找出问题中变量之间的函数关系；（3）利用所学函数知识解决函数问题，如已知自变量求函数值，函数值的和，函数的最值，比较函数值的大小等等；（4）说明函数问题的解的实际意义，从而说明实际问题的解．提高学生反思过程的针对性，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义．8
五、巩固应用巩固练习：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车.它们的载客量和租金如下表所示.甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案.解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系解释实际意义函数实际问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解应用函数某些现实问题中变量之间相互联系建立数学模型定义自变量取值范围表示法一次函数y=kx+b（k≠0）图像：一条直线性质：k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小一次函数与方程（组）、不等式之间的关系8
