活页作业 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．(2022·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点3．(2022·菏泽模拟)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．1<a≤2 B．a≥4C．a≤2 D．0＜a≤3解析：∵f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－1>0，a＋1≤3，解得1<a≤2.答案：A4．(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为( )A．(0,1) B．(1，)C．(－2，－) D．(1，)∪(－，－1)8\n解析：∵f′(x)是偶函数，∴函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x2－1)，即－1<1－x<x2－1<1，解得1<x<，实数x的取值范围为(1，)．答案：B4．(文)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(1－x)，f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )A．a<b<c B．c<a<bC．c<b<a D．b<c<a解析：依题意得，当x<时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在上是增函数；又f(3)＝f(－2)，且－2<0<，于是有f(－2)<f(0)<f，即c<a<b，选B.答案：B5．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．(－2,2) B．[－2,2]C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，且当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得－2＜a＜2.答案：A6．(理)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是( )A. B.C．[3,12] D.解析：由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，据题意知方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，令g(x)＝3x2＋4bx＋c，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(－1)＝2b－c，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(－1)＝2b－c的最值问题，由线性规划易知3≤f8\n(－1)≤12，故选C.答案：C6．(文)已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a的取值范围是( )A．(－4，－2) B．(－∞，2)∪(7，＋∞)二、填空题7．(理)设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，∴a<.答案：7．(文)函数y＝x＋2cosx在上取得最大值时，x的值为__________．解析：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx，令1－2sinx＝0，且x∈时，x＝.当x∈时，f′(x)≥0，f(x)是单调增函数，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．∴f(x)max＝f.8\n答案：8．(金榜预测)已知某质点的运动方程为s(t)＝t3＋bt2＋ct＋d，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t∈时，s(t)＜3d2恒成立，则d的取值范围为________．解析：∵质点的运动方程为s(t)＝t3＋bt2＋ct＋d，三、解答题9．(理)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝(c为常数，且0<c<6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)．8\n综上，若0<c<3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．9．(文)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，8\n所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．10．(理)(2022·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a、b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，由已知可得，解得a＝b＝3.(2)F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，∵a>0，∴x1<x2，由F′(x)>0得，x<－或x>－；由F′(x)<0得，－<x<－.∴单调递增区间是，；单调递减区间为.8\nF(－1)＝－＋a，F＝1，F(－1)≤F，当－≥－1，即0＜a≤2时，F(x)在区间(－∞，－1]上为增函数，F(x)max＝F(－1)＝－＋a.当－＜－1≤－，即2<a≤6时，F(x)在区间上单调递增，在上单调递减，所以在x＝－处取得唯一极大值也是最大值F＝1；当－<－1，即a>6时，F(x)在区间上单调递增，在区间－，－上单调递(2)f(x)＝3x2＋1，g(x)＝x3－9x，h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9，令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)增28减－5增当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－5.8\n而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.8
