第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则( )．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题解析 由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.答案 C2．(2022·九龙坡模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则( )．A．綈p：有的三角形不是等边三角形B．綈p：有的三角形是不等边三角形C．綈p：所有的三角形都是等边三角形D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形解析 命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.答案 D3．(2022·开封二模)下列命题中的真命题是( )．A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx解析 因为sinx＋cosx＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sinx<cosx，故D错误．所以选B.5\n答案 B4．(2022·潍坊模拟)已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析 因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．答案 ∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠06．(2022·南通调研)存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．解析 要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.答案 (－∞，0)∪三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解 (1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p：2不是4的约数，假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p∧q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；5\n綈p：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号不同，真命题．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．解 (1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·吉林二模)给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“∃x∈R，cosx＋sinx≠2”；②命题“∃x∈R，cosx＋≥2”的否定是“∀x∈R，cosx＋<2”；③对于∀x∈，tanx＋≥2；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝.其中正确的为( )．A．③B．③④C．②③④D．①②③④解析 根据含一个量词的命题否定规则，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sinx＋cosx＝sin∈[－，]知④正确．答案 C2．(2022·江西六校联考)已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为( )．A．(－∞，－2]B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1}D．[1，＋∞)解析 若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p∧q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5\n3．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.答案 [－8,0]4．(2022·长沙调研)下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③三、解答题(共25分)5．(12分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．解 由命题p为真知，0<c<1，由命题q为真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；当p假q真时，c的取值范围是c≥1.综上可知，c的取值范围是.6．(13分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则5\n解得m＞2，即命题p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因“p∨q”为真，所以p，q至少有一个为真，又“p∧q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．∴或解得：m≥3或1＜m≤2，即实数m的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].5
