【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第1章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．下列结论正确的序号是________．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．[解析] ①“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故①错误．②若x2－5x－6＝0，则x＝6或x＝－1，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故②错误．③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故③错误．④命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，所以其逆否命题也是真命题，故④正确．[答案] ④2．(2014·湖南高考改编)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为________．[解析] 根据全称命题的否定为特称命题知．[答案] ∃x∈R，x2＋1≤03．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．[解析] 全称命题的否定是存在性命题，故原命题的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根”．[答案] 存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根4．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题p∨q真、綈p真，则实数m的取值范围是________．[解析] 由綈p为真知，p为假．又p∨q真，则q为真．由p为假知，Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；由q为真知，Δ＝4－4m<0，即m>1.综上知1<m<2.[答案] 1<m<25．(2014·陕西高考改编)原命题为“若<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的有________个．3\n[解析] <an⇔an＋1<an⇔{an}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．[答案] 36．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．[解析] ∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．[答案] ①④7．(2014·无锡质检)若∃θ∈R，使sinθ≥1成立，则cos的值为________．[解析] 由sinθ≥1，又－1≤sinθ≤1，所以sinθ＝1.所以θ＝2kπ＋(k∈Z)，故cos＝.[答案] 8．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1，若∃x∈R，使f(x)<b·g(x)成立，则实数b的取值范围是________．[解析] ∵∃x∈R，f(x)<b·g(x)，∴∃x∈R，x2－bx＋b<0，∴Δ＝(－b)2－4b>0，解得b<0或b>4.[答案] b<0或b>4二、解答题9．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∀T＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T)＝sinx；(2)若直线l⊥平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；(3)若an＝－2n＋10，则∃n∈N*，使Sn<0.[解] (1)原命题的否定为：∃T＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T)≠sinx，假命题．(2)原命题的否定为：若直线l⊥平面α，则存在l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．(3)若an＝－2n＋10，则对∀n∈N*，Sn≥0，假命题．3\n10．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．[解] 易知命题p为真命题．若命题q为真命题，则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2.若p∧q为真命题，有所以－2<m≤－1.所以p∧q为假命题时，实数m的取值范围为{m|m≤－2或m>－1}．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·湖北高考改编)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是________．[解析] 全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 ∃x∈R，x2＝x2．已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的序号是________．[解析] 命题p：∃x∈R，使tanx＝1是真命题，所以綈p是假命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题．所以綈q是假命题，所以①②③④正确．[答案] ①②③④二、解答题3．已知命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．[解] 命题p为真时，0＜a＜1，从而命题p为假时，a≤0或a≥1.若命题q为真，当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0符合题意．当a≠2时，有即－2＜a＜2.故命题q为真时－2＜a≤2；q为假时a≤－2或a＞2.若p∨q为假命题，则命题p，q同时为假命题．即∴a≤－2或a＞2.∴p∨q为真命题时－2＜a≤2.3
