第3讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.(2022·辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 2.下列命题是全称命题的是( )①对数函数都是单调函数；②至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；③∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；④∃x0∈R，log2x0>0.A．①②B．①③C．②③D．①④ 3.(2022·长沙市第一次月考)已知命题p：∃x∈R，使sinx＋cosx＝2，命题q：集合{x|x2－6x＋9＝0，x∈R}有且只有两个子集．下列结论：(1)命题“p∧q”是真命题；(2)命题“p∧(綈q)”是假命题；(3)命题“(綈p)∧q”是真命题；(4)命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4 4.(2022·福建卷)下列命题中，真命题是( )A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R，2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件 5.命题“∃x∈R，x≤1或x>2”的否定是________________________________________________________________________． 6.“若x>4，则x>m”为真命题，则m的取值范围是________． 7.写出下列命题的否定并判断真假．(1)p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．2\n 8.(2022·石家庄一模)已知命题p：m<0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 9.已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是________．10.已知a>0且a≠1，命题p：函数y＝loga在(1，＋∞)内单调递增；命题q：不等式(a－3)x2＋(2a－6)x－5<0对任意实数x恒成立．若(綈p)∨(綈q)为真命题，p∨q也是真命题，求实数a的取值范围．第3讲1．C 2.B 3.C 4.D 5.∀x∈R，1<x≤2 6.m≤47．解析：(1)綈p：存在一个末位数字是0的整数不能被5整除，为假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，为真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于等于180°，为真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，为真命题．8．(－2，0) 解析：由∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2.因为“p∧q”为真命题，则p，q都为真，故，即－2<m<0.所以m的取值范围是(－2，0)．9．(－∞，－2] 解析：因为p为真命题，即方程4x＋2x·m＋1＝0有实数解，所以－m＝2x＋≥2，所以m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]．10．解析：若p为真，即函数y＝loga在(1，＋∞)内单调递增，而u＝在(1，＋∞)上是减函数，所以y＝logau在(0，＋∞)上为减函数，所以0<a<1.若q为真，即∀x∈R，(a－3)x2＋(2a－6)x－5<0成立，所以a－3＝0或，得0<a<1或1<a≤3.又因为(綈p)∨(綈q)及p∨q均为真，所以p真q假或p假q真．故或，得1<a≤3.所以a的取值范围是(1，3]．2
