课时作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．命题p：若ac2>bc2，则a>b；命题q：在△ABC中，若A≠B，则sinA≠sinB．则( )A．p假、q真 B．p真、q假C．“p或q”为假 D．“p且q”为真答案：D解析：因为p真、q真，所以p且q为真．故应选D.2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )A．不存在x0∈R,2x0>0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x>0答案：D解析：根据命题的否定的定义，易知D正确．故应选D.3．(2015·烟台诊断)若命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cosα，命题q：∀x∈R，x2＋1>0，则下面结论正确的是( )A．p是假命题B．¬q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题答案：D解析：对于命题p，当α＝时，有cos(π－α)＝cosα成立，故命题p是真命题；命题q显然正确，则¬q是假命题，p∧q是真命题，p∨q是真命题．故应选D.4．(2015·湖南长沙一中、师大附中等六校联考)下列说法中正确的是( )A．“x>5”是“x>3”的必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2＋1>0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1≤0”C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题答案：B解析：“x>5”是“x>3”的充分不必要条件，故A错；B是正确的；函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)不可能是奇函数，故C错误；若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个是真命题，但不能确定都是真命题，推不出p∧q也是真命题，故D错．故应选B.6\n5．(2015·衡水模拟)已知“命题p：∃x0∈R，使得ax＋2x0＋1<0成立”为真命题，则实数a满足( )A．[0,1)B．(－∞，1)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]答案：B解析：解法一：当a＝0时，2x＋1<0，可得x<－，此时存在x0使ax＋2x0＋1<0成立；当a≠0时，要使∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0成立，只要4－4a>0，即a<1且a≠0即可．综上所述，a<1.故应选B.解法二：命题p的否定是“∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0”．当a＝0时，显然命题为假；a≠0时，命题¬p为真的充要条件是a>0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.故¬p为真时a的取值范围A＝[1，＋∞)，故p为真时a的取值范围是∁RA＝(－∞，1)．故应选B.6．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题答案：D解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错；由x2－5x－6＝0，得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”充分不必要条件，所以B错；命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1≥0”，所以C错；因为原命题与逆否命题真假相同，易知D正确，故应选D.7．给出下列四个命题：①命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x0∈R，使sinx0>1；③“φ＝＋kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈R，使sinx＋cosx＝”，命题q：“若sinα>sinβ，则α>β”，那么(¬p)∧q为真命题．6\n其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案：B解析：①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误；②根据全称命题的否定是特称命题，知②正确；③当函数为偶函数时，有φ＝＋kπ，所以为充要条件，所以③正确；④因为sinx＋cosx＝sin的最大值为<，所以命题p为假命题，¬p为真，三角函数在定义域上不单调，所以q为假命题，所以(¬p)∧q为假命题，所以④错误．所以正确的个数为2.故应选B.8．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q答案：A解析：¬p表示甲没有降落在指定范围，¬q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故应选A.9．下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则¬p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案：B解析：若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．故应选B.10．已知命题p1：函数y＝x－－x在R为减函数，p2：函数y＝x＋－x在R为增函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p26\n)中，真命题是( )A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4答案：C解析：因为函数y＝x－2x是R上的减函数，所以命题p1是真命题；因为x＝1和x＝－1时，都有y＝＋2＝，所以函数y＝x＋2x不是R上的增函数，故p2是假命题，所以p1∨p2是真命题，p1∧p2是假命题，(¬p1)∨p2是假命题，p1∧(¬p2)是真命题，所以真命题是q1，q4，故应选C.二、填空题11．命题“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．答案：存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根解析：全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根”．12．(2015·皖南八校第三次联考)已知p和q都是命题，则命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四者之一)答案：必要不充分解析：p∨q为真，二者至少有一个为真，p∧q为真，二者均为真，故“p∨q为真”⇐“p∧q为真”，所以填“必要不充分”．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案：[－8,0]解析：由题意，ax2－ax－2≤0对∀x∈R恒成立．(1)当a＝0时，－2≤0，符合题意．(2)当a≠0时，只需解得－8≤a<0，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是[－8,0]．14．(2015·潍坊模拟)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案：[e,4]解析：因为∀x∈[0,1]，a≥ex，所以a≥e.由“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.6\n若命题“p∧q”是真命题，则p，q同时为真，所以e≤a≤4.15．下列结论：①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝2，命题q：∀x∈R，x2－x＋>0，则命题“p∧(¬q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)答案：①③解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(¬q)”是假命题是正确的．在②中，l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确．在③中，“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”，正确．三、解答题16．(2015·浙江金华一模)已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根，∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴<a<.∵命题“p∧q”为真命题，∴∴<a≤1.故实数a的取值范围为.17．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．解：若p为真命题，则6\n解得m>2；若q为真命题，则Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1<m<3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真，q假时，由得m≥3；当p假，q真时，由得1<m≤2.综上，知实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．6
