2013高考总复习江苏专用（理科）：第一篇集合与常用逻辑用语《第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·泰州学情调查)命题“∃x∈R，x2＋1＜0”的否定是________．解析 存在性命题的否定是全称命题．答案 ∀x∈R，x2＋1≥02．(2011·盐城调研)命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是________．解析 全称命题的否定是存在性命题．答案 ∃x∈R，sinx≥23．命题：∀x∈R，x2≥0的否定是________．解析 原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案 ∃x∈R，x2＜04．(2011·山东省日照调研)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．解析 原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案 存在x∈R，x3－x2＋1＞05．命题“∃x∈(1,2)时，满足不等式x2＋mx＋4≥0”是假命题，则m的取值范围________．解析 由题意，得不等式x2＋mx＋4＜0在(1,2)恒成立，于是由m＜－x－得m≤－1－4＝－5.答案 m≤－56．(2011·湖南卷改编)下列命题：①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝1；③∀x∈R，x2＞0；④∀x∈R,2x＞0，其中真命题的序号是________．解析 ①取x＝1，得lgx＝lg1＝0，①正确．②取x＝，得tanx＝tan＝1，②正确．③取x＝0，则x2＝0，③不正确．④由指数函数值域知④正确．答案 ①②④7．有四个关于三角函数的命题：①∃x∈R，sin2＋cos2＝；②∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin4\nx－siny；③∀x∈(0，π)，＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝，其中假命题的序号为________．解析 ①中sin2＋cos2＝1；②中取y＝0，得sin(x－y)＝sinx－siny；③中，由于sinx＞0，所以＝＝sinx；④中sin＝cos，但＋＝π，故②③正确，①④不正确．答案 ①④二、解答题(每小题15分，共45分)8．若命题“綈[(綈p)∧(綈q)]”是假命题，请判断命题p与q的真假，并说明理由．解 由“綈[(綈p)∧(綈q)]”是假命题，得“(綈p)∧(綈q)”是真命题，从而綈p与綈q都是真命题，因此p与q均为假命题．9．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．解 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0，∴Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.∵a＝b＋c＋1，∴b＋c＝a－1.∴1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＞0，故矛盾．所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根．10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1(1)∃x∈R，使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)∀x∈R，使f(x)≥b·g(x)，求实数b的取值范围．解 (1)由∃x∈R，f(x)＜b·g(x)，得∃x∈R，x2－bx＋b＜0，所以Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4，即实数b的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)由∀x∈R，f(x)≥b·g(x)，得∀x∈R，x2－bx＋b≥0，所以Δ＝(－b)2－4b≤0，解得0≤b≤4.即实数b的取值范围是[0,4]B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·南京学情分析)命题“∀x＞0，都有sinx≥－1”的否定是________．4\n解析 原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案 ∃x≤0，sinx＜－12．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＞0；②∃x∈R，使得x2≤x成立；③对立集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N.其中真命题的个数是________．解析 ①取x＝0，得x2＝0，①不正确；②取x＝，得②正确．③正确，故真命题的个数为2.答案 23．(2011·天津卷改编)下列命题：①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃x∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数，其中是真命题的序号是________．解析 当m＝0时，函数f(x)＝x2是偶函数．答案 ①4．已知函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论：①∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；②∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；③∃a∈R，f(x)是偶函数；④∃a∈R，f(x)是奇函数，其中正确的序号是________．解析 ①取a＝4，f(x)＝x2＋在(0，＋∞)上不是增函数，①不正确．②取a＝－4，f(x)＝x2－在(0，＋∞)上不是减函数，②不正确．③取a＝0，f(x)＝x2(x≠0)是偶函数，③正确．④显然不正确．答案 ③5．(2011·山东省菏泽测试)给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析 ①p，q一真一假时，p∧q也为假命题，②正确，③否定应为“∃x∈R，x2＋1＜1”，④在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．因此①③为假命题，②④为真命题．答案 ①③6．(2010·辽宁卷改编)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题：①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；③∀x∈R，4\nf(x)≤f(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)，其中正确的序号是________．解析 由x0满足方程2ax＋b＝0，得x0＝－.因为a＞0，所以f(x0)＝f是二次函数f(x)的最小值，从而可判定④真命题，③是假命题，由存在x＝x0时，f(x)＝f(x0)，可判断①②是真命题．答案 ①②④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·山东省日照调研)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解 (1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p，且p/⇒q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，又B＝(2,3]，当a＞0时，A＝(a,3a)；当a＜0时，A＝(3a，a)，所以当a＞0时，有解得1＜a≤2；当a＜0时，显然A∩B＝∅，不合题意．所以实数a的取值范围是(1,2]．8．(2011·常州模拟)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解 因为∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，所以a≤1.即p：a≤1，所以綈p：a＞1.又∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0.所以Δ＝(a－1)2－4＞0，所以a＞3或a＜－1，即q：a＞3或a＜－1，所以綈q：－1≤a≤3.又p或q为真，p且q为假，所以p真q假或p假q真．当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜－1或a＞3}＝{a|a＞3}．综上所述a的取值范围为{a|－1≤a≤1或a＞3}.4
