第3讲函数的奇偶性与周期性A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于( )．A．－5B．－6C．－D．－解析 f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，∴f(log6)＝－.答案 D2．(2022·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )．A．－3B．－1C．1D．3解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.答案 A3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是( )．A．f>fB．f(sin1)<f(cos1)C．f<fD．f(cos2)>f(sin2)解析 当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin＝>，又f＝f>f，所以f>f.5\n答案 A4．(2022·秀山一模)已知函数f(x)＝则该函数是( )．A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析 当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析 由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案 06．(2022·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.解析 因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.答案 －1三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．解 由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)<f(m)等价于解得：<m≤2.5\n因此实数m的取值范围是.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )．A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析 由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数．答案 D2．(2022·福建)设函数D(x)＝则下列结论错误的是( )．A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解析 显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．f(x)＝2x＋sinx为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是________.解析 f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)<f(2a－1)等价于解得<a<1.答案 4．若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则下列结论：①f(x)的图象关于点对称；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)是周期函数，且2是它的一个周期；④f(x)在区间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是________．解析 由函数为奇函数且满足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－5\nf，f＝f，所以②③正确．答案 ②③三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a>0时，由f′(x)＝>0，解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2.解得0<a≤16.综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．6．(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2014]上的所有x的个数．(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解 当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，5\n∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2014，则≤n≤.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，∴在[0,2014]上共有503个x使f(x)＝－.5
