第6讲幂函数与二次函数A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A．y＝(x∈R，且x≠0)B．y＝x(x∈R)C．y＝x(x∈R)D．y＝－x3(x∈R)解析 对于f(x)＝－x3，∵f(－x)＝－(－x)3＝－(－x3)＝－f(x)，∴f(x)＝－x3是奇函数，又∵y＝x3在R上是增函数，∴y＝－x3在R上是减函数．答案 D2．(2022·巴南区模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )．A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1解析 因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．答案 B3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )．A．[2－，2＋]B．(2－，2＋)C．[1,3]D．(1,3)5\n解析 f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－<b<2＋.答案 B4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )．A．－3B．－1C．1D．3解析 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔或解得a＝－3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f＝________.解析 设f(x)＝xα，由＝3，得＝3，解得α＝log23，故f(x)＝xlog23，所以f＝log23＝2－log23＝2log2＝.答案 6．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．解析 由已知得⇒答案 a>0，ac＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．解 设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点在函数图象上，求得n＝3.令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．8．(13分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解 (1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]5\n∴即解得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·黔江模拟)已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 若a≤－2，则－≥1，且－≤<1，则f(x)分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x＝1处的值相同，故f(x)在R上单调递减，若f(x)在R上单调递减，则a<0，且得a≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是( )．A．3B．4C．5D．6解析 由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为________．解析 函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g(x)＝x2－ax＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g(x)＝x2－ax＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以∴1<a≤3.答案 (1,3]4．(2022·北京)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：5\n①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________．解析 当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－4<m<－2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．6．(13分)设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．解 (1)∵函数f(x)是偶函数，5\n∴f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.(2)f(x)＝①当x≥a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a>2，x≥a，得x>1，故f(x)在时单调递增，f(x)的最小值为f＝；②当x<a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，故当1<x<时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.由于－(a－1)＝>0，故f(x)的最小值为a－1.5
