第3讲 函数的奇偶性与周期性分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列判断正确的是( )．A．函数f(x)＝是奇函数B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数C．函数f(x)＝x＋是非奇非偶函数D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数解析 选项A中的x≠2，而x＝－2有意义，定义域不关于原点对称，选项B中的x≠1，而x＝－1有意义，定义域不关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数．答案 C2．(2022·豫东、豫北十所名校三测)已知函数f(x)＝则该函数是( )．A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意x∈R，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增，选C.答案 C3．已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f(x2－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为( )．A．1B．2C．3D．4解析 依题意得，方程f(x2－2x－1)＝f(x＋1)等价于方程x2－2x－1＝x＋1或x2－2x－1＝－x－1，即x2－3x－2＝0或x2－x＝0，因此所有解之和为3＋1＝4，选D.答案 D4．(2022·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )．5\nA．2B.C.D．a2解析 依题意知：f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，联立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得：g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.解析 当x>0时，则－x<0，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，∴x>0时，f(x)＝x2－x.答案 x2－x6．(2022·重庆)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，∵f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式．解 设x＜0，则－x＞0，所以满足表达式f(x)＝x|x－2|.∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.8．(13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5\n(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.分层B级 创新能力提升1．(2022·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )．A．－2B．2C．－98D．98解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案 A2．(2022·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )．A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析 f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0，得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案 C3．(2022·吉林实验中学模拟)给出两个函数性质：性质1：f(x＋2)是偶函数；性质2：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．5\n对于函数：①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x－2)，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是________．解析 将f(x＋2)的图象沿x轴向右平移2个单位可得f(x)的图象，f(x＋2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)＝|x＋2|的图象关于直线x＝－2对称，①排除；f(x)＝cos(x－2)是周期函数，不满足性质2，∴③排除；f(x)＝(x－2)2同时满足性质1,2.答案 ②4．(2022·盐城调研)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案 ①②④5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝x，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．5\n当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．(1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－；x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.5
