第9讲函数的应用A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )．解析 由题意可得y＝(1＋10.4%)x.答案 D2．(2022·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A．10元B．20元C．30元D.元解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x7\n为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )．A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．答案 B4．(2022·綦江模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )．A．3B．4C．5D．6解析 由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝－x－＋12，∵x∈N*，∴≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时取“＝”．∴x＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．7\n解析 设长为acm，宽为bcm，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，Smax＝486.答案 30cm、20cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.∴y1＝x＋29，y2＝x.(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<96时，y1>y2，即使用“便民卡”便宜；当x>96时，y1<y2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2022·济宁模拟)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？7\n(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x)(1＋0.2x%)万元，则10x≤10(1000－x)(1＋0.2x%)，所以ax－≤1000＋2x－x－x2，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立，因为x＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是( )．解析 由题意得2xy＝20，即y＝，当x＝2时，y＝5，当x＝10时，y＝1时，排除C，D，又2≤x≤10，排除B.答案 A2．(2022·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M7\n(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )．A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析 由题意M′(t)＝M02－ln2，M′(30)＝M02－1×ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·武隆检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为________．解析 将P点移到原点，开始运动，当P点第一次回到x轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x轴围成的区域面积为＋＋＝π＋1.答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析 由已知条件y＝由y＝22.6解得x＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·湖南)如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速度移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P7\n的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝时，(1)写出y的表达式；(2)设0<v≤10,0<c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．解 (1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，故y＝＝(3|v－c|＋10)．(2)由(1)知，当0<v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15；当c<v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.故y＝①当0<c≤时，y是关于v的减函数，故当v＝10时，ymin＝20－.②当<c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝.6．(13分)(2022·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积7\nS＝π[r2－(r－8)2]＋8××2＝＋8πr－64π.∵πr2＜10000，∴0＜r＜.(2)设运动场的造价为y元，y＝150×＋30×＝300000＋120×－7680π.令f(r)＝＋8πr，∵f′(r)＝8π－，当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，∴函数y＝300000＋120×－7680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，ymin≈636510，即运动场的造价最低为636510元.7
