第4讲指数与指数函数A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )．A．0B.C．1D.解析 由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan＝tan＝.答案 D2．(2022·天津)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )．A．c<b<aB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a解析 a＝21.2>2，而b＝－0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b<a.答案 A3．(2022·酉阳模拟)不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.B.C.D.解析 y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.答案 C4．定义运算：a*b＝如1]( )．A．RB．(0，＋∞)5\nC．(0,1]D．[1，＋∞)解析 f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤1.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·太原模拟)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．解析 对任意x1≠x2，都有<0成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0<a<1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0<a≤.答案 6．若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是________．解析 当x>0时，有f(x)<0；当x<0时，有f(x)>0.故f(f(x))＝＝而当x>0时，－1<－2－x<0，则<2－2－x<1.而当x<0时，－1<－2x<0，则－1<－2－2x<－.则函数y＝f(f(x))的值域是∪答案 ∪三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)在R上为增函数．(1)解 因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)证明 设x1，x2∈R，且x1<x2，有5\nf(x1)－f(x2)＝－＝，∵x1<x2,2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．8．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－.解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )．A.B.C．2D．4解析 由题意知f(1)＋f(2)＝loga2＋6，即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．答案 C2．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的( )．5\n解析 函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f(x)＝且f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．解析 由已知得f(1)＝21＋1＝3，故f(f(1))>3a2⇔f(3)>3a2⇔32＋6a>3a2.解得－1<a<3.答案 (－1,3)4．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析 x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝－(a∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．解 (1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝－＝4x－a·2x，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－2＋，当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；当1<<2，即2<a<4时，g(t)max＝g＝；当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.5\n综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；当2<a<4时，f(x)的最大值为；当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝aln2×2x－ln4×4x＝2xln2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4.6．(13分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解 (1)当x<0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－，由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，∵2x>0，∴x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．5
