第二篇函数与基本初等函数I第1讲函数及其表示A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各对函数中，是同一个函数的是( )．A．f(x)＝，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N*D．f(x)＝·，g(x)＝解析 对于选项A，由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；对于选项C，由于当n∈N*时，2n±1为奇数，所以f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝·的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．答案 C2．(2022·江西)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )．A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝解析 函数y＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝的定义域相同，故选D.答案 D5\n3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析 由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C4．(2022·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )．A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x解析 因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．解析 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发现g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1.答案 1 26．函数y＝－的值域为________．解析 函数定义域为[1，＋∞)，∵y＝－＝，当x≥1时是减函数，∴0<y＝≤＝.故函数的值域为(0，]．答案 (0，]三、解答题(共25分)7．(12分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合5\nN，求：(1)集合M，N；(2)集合M∩N，M∪N.解 (1)M＝{x|2x－3>0}＝，N＝＝＝{x|x≥3，或x<1}．(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝.8．(13分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解 (1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由题意，得解得故f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min>m，又因为g(x)在[－1,1]上递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )．A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析 a，b，c互不相等，不妨设a<b<c，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，由图可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.∵f(a)＝f(b)，∴|lga|＝|lgb|，∴lga＝－lgb，即lga＝lg⇒a＝，∴ab＝1,10<abc＝c<12.故应选C.答案 C2．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )．A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]5\nB．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]解析 ∵2⊕x＝，x⊗2＝＝|x－2|，∴f(x)＝.注意到定义域：⇒⇒x∈[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f(x)＝，则f＋f＋f＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.解析 因为f(x)＝，所以f＝－，f＋f(x)＝0，所以f＋f＋f＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＝0.答案 04．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．解析 由题意有或解得－1<x<0或0≤x<－1，∴所求x的取值范围为(－1，－1)．答案 (－1，－1)三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．(1)求函数h(a)的解析式；(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．解 (1)由题意知g(x)＝当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a；当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1；5\n当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，有g(2)<g(x)≤g(3)，因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；当<a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.综上所述，h(a)＝(2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)min＝h＝.6．(13分)(2022·江苏)设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．解 (1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2k，其中m为奇数，k∈N*.由条件知，若m∈A，则x∈A⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数．于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是(或)，所以f(n)＝5
