第4讲向量的应用A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于( )．A．1B．－1C.D.解析 由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案 A2．(2022·九江模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是( )．A.B.C．2D.解析 a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案 B3.(2022·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝( )．A．4B．6C．1D．2解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案 B4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝( )．7\nA.B.C.D.解析 法一 依题意，不妨设＝E，＝2，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2)＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.解析 ·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos60°－×4＝－.答案 －6．(2022·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________.7\n解析 依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案 －1三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解 (1)∵·＝cbcosA，·＝cacosB，又·＝·，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，·＝bccosA＝bc·＝＝k，∵c＝，∴k＝1.8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(1)若||＝||，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值．解 (1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，7\n由||＝||，可得2＝2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈，∴α＝.(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝.①又＝＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－.∴＝－.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a＋2b＋3c＝0，则cosB＝( )．A．－B.C.D．－解析 由4a＋2b＋3c＝0，得4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案 A2．(2022·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝|7\n|，则在方向上的投影为( )．A．1B．2C.D．3解析 如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴||＝||＝||＝2，||＝1，∴||＝，∴在方向上的投影为.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析 若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案 64．(2022·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析 由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案 三、解答题(共25分)5．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．解 (1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，7\n∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.6．(13分)(2022·南通模拟)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解 (1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.∴＜＋＜，sin∈.7\n又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.7
