系列4选讲第1讲 坐标系分层+A级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：80分)1．(2022·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，求|AB|的长．解 注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2＝2.2．(2022·安徽)在极坐标系中，求点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离．解 点点(1，)，ρ＝2cosθx2＋y2－2x＝0，圆x2＋y2－2x＝0的圆心坐标为(1,0)，由两点间的距离公式得，所求两点距离为＝.3．在极坐标系中，求过圆ρ＝6cosθ－2sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程．解 由ρ＝6cosθ－2sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.4．(2022·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝8的距离的最大值．解 把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.5．(2022·江西九校联考)在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，求线段AB的长．解 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.5\n6．(2022·深圳调研)在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，求线段PQ长度的最大值．解 由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.7．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．解 设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．8．(2022·江西八校联考)若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，求实数m的取值范围．解 注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0，或m＞10.分层B级 创新能力提升1．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示圆心在点，半径为的圆．2．(2022·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)求圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.解 法一 (1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.5\n(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得，|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.法二 (1)同法一．(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.由得x2－3x＋2＝0.解得：或不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)，故|PA|＋|PB|＝＋＝3.3．(2022·山西六校模考)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解 (1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．如图，设圆上任意一点为P(ρ，θ)，则在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2＋OM2－2·PO·OMcos∠POM，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是x－y－5－＝0，5\n圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，所以直线l和圆C相离．4．(2022·浙江自选IB)如图，在极坐标系Ox中，已知曲线C1：ρ＝4sinθ，C2：ρ＝4cosθ，C3：ρ＝4.(1)求由曲线C1，C2，C3围成的区域的面积；(2)若M，N(2,0)，射线θ＝α与曲线C1，C2分别交于A，B(不同于极点O)两点．若线段AB的中点恰好落在直线MN上，求tanα的值．解 (1)由已知，如图弓形OSP的面积＝×π×22－×22＝π－2，从而，如图阴影部分的面积＝×π×22－2(π－2)＝4，故所求面积＝π×42＋×π×22－4＝6π－4.(2)设AB的中点为G(ρ，α)，∠ONG＝φ，5\n由题意，得ρ＝＝2sinα＋2cosα，sinφ＝，cosφ＝.在△OGN中，＝，即＝.所以sinα＋cosα＝＝.化简得sin2α－3sinαcosα＝0，又因为sinα≠0，所以tanα＝3.5
