导数及其应用第1讲 导数及导数的计算分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )．A．1B．2C．eD.解析 由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝1.答案 A2．(2022·合肥模拟)函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是( )．A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析 y′＝2xcosx－x2sinx，当x＝1时，y′＝2cos1－sin1.答案 B3．(2022·青岛一模)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )．A．－1B.C．－2D．2解析 ∵y′＝＝，∴y′|x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1，故选A.答案 A4．(2022·广州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( )．A.B．－2C．2D．－解析 设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，5\n切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝.分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，由题意得它们互为相反数得a＝.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．解析 由已知条件可得直线的斜率k＝，y′＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标为x＝2，切点坐标为(2，ln2)．由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－×2＝ln2－1.答案 ln2－16．(2022·金华十校联考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．解析 由y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.曲线C在点P处的切线的斜率为2，令y′＝3x2－10＝2，得x2＝4，因为点P在第二象限，∴x＝－2，又点P在曲线C上，∴y＝－8＋20＋3＝15，则点P的坐标为(－2,15)．答案 (－2,15)三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，已知A(-1,2)为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a(a<-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S.解 (1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点，∵y′=4x，∴直线l1的斜率k=-4，所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0.5\n(2)点A的坐标为(-1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，-4a-2)，∴△ABD的面积为S＝×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或所以切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)．即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.分层B级 创新能力提升1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2013(x)等于( )．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析 f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)＝cosx.5\n答案 C2．(2022·豫东、豫北十所名校测试)在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )．A．0B．1C．2D．3解析 依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1，得3≤x2<，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案 A3．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________．解析 ∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∵θ∈，∴θ＋∈，∴sin∈，∴f′(1)∈[，2]．答案 [，2]4．(2022·湖南十二校联考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·x2013的值为________．解析 ∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n，令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·x3·…·x2013＝×××…×＝.答案 5．(2022·佛山调研)已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，5\n∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(2)由已知得a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，∴g(x)在[1,2]上是减函数．g(x)min＝g(2)＝，∴a>，即实数a的取值范围是.6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－(x0－)＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.5
