第3讲 三角函数的图象与性质分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )．A．2－B．0C．－1D．－1－解析 因为0≤x≤9，所以0≤x≤，所以－≤x－≤，所以－≤sin≤1，所以－≤2sin≤2.所以函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.答案 A2．(2022·三明模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )．A．2或0B．－2或2C．0D．－2或0解析 由f＝f知，函数图象关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值．答案 B3．(2022·福州二模)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为( )．A．0B.C.D.7\n解析 据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案 B4．(2022·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )．A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析 由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤对x∈R恒成立，∴f＝±1，即sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋(k∈Z)．又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sinφ>sinφ.∴sinφ<0.∴对于φ＝kπ＋(k∈Z)，k为奇数．∴f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.∴由2mπ＋≤2x＋≤2mπ＋(m∈Z)，得mπ＋≤x≤mπ＋(m∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是(m∈Z)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．解析 f＝f＝f＝sin＝.7\n答案 6．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.解析 由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，所以＝，解得ω＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)设f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．解 (1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．8．(13分)(2022·东营模拟)已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间上的值域．解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.7\n∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．(2)∵x∈，∴2x－∈，∴－≤sin≤1.即函数f(x)在区间上的值域为.分层B级 创新能力提升1．(2022·新课标全国)已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是( )．A.B.C.D．(0,2]解析 取ω＝，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然⊆kπ＋，kπ＋π，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然⃘，k∈Z，排除D.答案 A2．(2022·洛阳模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sinωx在上是增函数，那么( )．A．0<ω≤B．0<ω≤2C．0<ω≤D．ω≥2解析 由x∈且ω>0，得ωx∈.又y＝sinx是上的单调增函数，7\n则解得0<ω≤.答案 A3．(2022·徐州模拟)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析 f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.答案 4．(2022·西安模拟)下列命题中：①α＝2kπ＋(k∈Z)是tanα＝的充分不必要条件；②函数f(x)＝|2cosx－1|的最小正周期是π；③在△ABC中，若cosAcosB>sinAsinB，则△ABC为钝角三角形；④若a＋b＝0，则函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2kπ＋(k∈Z)⇒tanα＝，而tanα＝⇒/α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正确．②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|＝|－2cosx－1|＝|2cosx＋1|≠f(x)，∴②错误．③∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，∵0<A＋B<π，∴0<A＋B<，7\n∴C为钝角，∴③正确．④∵a＋b＝0，∴b＝－a，y＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin，∴x＝是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④5．已知函数f(x)＝coscos，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．解 (1)∵f(x)＝coscos＝·＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，∴f(x)的最小正周期为＝π.(2)由(1)知，h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值时，对应的x的集合为.6．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈.又∵a>0，7\n∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]．又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1.因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.综上，g(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z).7
