第4讲函数y=Asin(ωx+φ)分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·兰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )． A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sinD．y＝sin解析 由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，故选D.答案 D2．(2022·东营模拟)将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )．A.B.C.D.解析 将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为.答案 C3．(2022·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．8\n解析 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.答案 A4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是( )．A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象解析 ∵f(x)＝sin＝cosx，g(x)＝cos＝cos＝sinx，∴y＝f(x)·g(x)＝cosx·sinx＝sin2x.T＝＝π，最大值为，∴选项A，B错误．又∵f(x)＝cosxg(x)＝cos，∴选项C错误，D正确．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<8\n的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 因为＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.将代入解析式可得：π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝.答案 2 6．(2022·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围是.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·陕西)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．解 (1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.(2)f＝2sin＋1＝2，即sin＝，∵0<α<，∴－<α－<，8\n∴α－＝，故α＝.8．(13分)已知函数f(x)＝2·sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin[＋]＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.分层B级 创新能力提升1．(2022·潍坊期末)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )． A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin8\n解析 由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C.答案 C2．(2022·东莞二模)若函数f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，则a＋ω的一个可能的取值是( )．A．0B．3C．6D．9解析 因为函数f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)＝·sin(ωx＋φ)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，所以必有k，n∈Z，两式相减得：＝(k－2n)π＋，即ω＝6(k－2n)＋3＝6m＋3，k，n，m∈Z，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m＋3，k，n，m∈Z代入f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)，得y＝sin(6m＋3)x＋acos(6m＋3)x.当图象关于点M对称时，有sin＋acos＝0，即a＝0.所以函数解析式应为f(x)＝sinωx(ω>0)．回验a＋ω＝3时的函数性质与题设中在x＝处函数有最小值不符，故只有a＋ω＝9，故选D.答案 D3．(2022·杭州二中一模)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，则必有解得故φ＝.答案 8\n4．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．其中正确结论的编号为________．解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝＝2，又其图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z.由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．∴y＝sin关于点对称．故②正确．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．∵(k∈Z)．∴④正确．答案 ②④5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．8\n解 (1)由图象知A＝2，f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.将点代入f(x)的解析式，得sin＝1，又|φ|<，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)g(x)为偶函数，理由如下：g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos2x.∴g(－x)＝g(x)，故g(x)为偶函数．6．(2022·北京模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π<φ<0，∴φ＝－.(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.(3)由y＝sin知8\nx0πy－－1010－故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象为8
