第2讲 一元二次不等式及其解法分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·南通二模)已知f(x)＝则不等式f(x)<f(4)的解集为( )． A．{x|x≥4}B．{x|x<4}C．{x|－3<x<0}D．{x|x<－3}解析 f(4)＝＝2，不等式即为f(x)<2.当x≥0时，由<2，得0≤x<4；当x<0时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，x<4.故f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．答案 B2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )．A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4，故选D.答案 D3．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝( )．A．1∶2∶3B．2∶1∶3C．3∶1∶2D．3∶2∶1解析 ∵－c<ax＋b<c，又a>0，∴－<x<.∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，∴∴∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.答案 B4．(2022·莆田二模)不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )．A．(0,1)∪(，＋∞)B．(－，1)∪(，＋∞)C．(，＋∞)D．(－，)5\n解析 原不等式等价于或∴x>或0<x<1，即不等式的解集为(0,1)∪(，＋∞)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．解析 由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．答案 (－2,3)6．(2022·浙江)设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.解析 显然a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x2<x3，易知x2<0，x3>0.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．答案 三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解 (1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得解得(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上所述：当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2022·浙江卷)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a＞0.5\n(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注 e为自然对数的底数．解 (1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2，对x∈[1，e]恒成立，只要解得a＝e.分层B级 创新能力提升1．(2022·长沙模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )． A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析 ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－<a<－，又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，解得－1<x<0.答案 C2．(2022·南通期末)若不等式x2－2ax＋a>0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋1<at2＋2t－3<1的解集为( )．A．(1,2)B．(－2,1)C．(－2,2)D．(－3,2)解析 若不等式x2－2ax＋a>0对x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a<0，所以0<a<1.又a2t＋1<at2＋2t－3<1，则2t＋1>t2＋2t－3>0，即所以1<t<2.答案 A3．在实数集上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 由题意知(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a.故－x2＋x＋a2－a<1对任意x∈R都成立．5\n即－x2＋x<－a2＋a＋1对任意x∈R都成立．而－x2＋x＝－2＋≤，只需－a2＋a＋1>即可，即4a2－4a－3<0，解得－<a<.答案 4．(2022·大同一模)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．解析 依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)5．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解 假设实数m存在，依题意，可得即因为sinx的最小值为－1，且－(sinx－)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m＝－或≤m≤3.所以实数m的取值范围是∪.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.6．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.5\n当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.5
