【备战2022】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题17 几何证明选讲 理

【备战2022】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题17几何证明选讲理【2022高考真题精选】（2022·辽宁卷）如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.（2022·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.图1－7【答案】A.证明：如图，连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，13\n（2022·湖北卷]如图1－6所示，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连结OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．（2022·全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)A．16B．14C．12D．10（2022·北京卷）如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·AB13\nC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2（2022·广东卷]如图1－3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.（2022·湖南卷）如图1－3，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．（2022·课标全国卷]如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.13\n（2022·陕西卷]如图1－5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.（2022·天津卷）如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．图1－313\n【2022高考真题精选】（2022·北京卷）如图1－2，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.图1－2给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是(　　)A．①②B．②③C．①③D．①②③图1－2（2022·广东卷)如图1－2，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.13\n（2022·广东卷)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，图1－3E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．（2022·湖南卷）如图1－2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．【答案】　【解析】连结AO与AB，因为A，E是半圆上的三等分点，所以∠ABO＝60°，∠EBO＝30°.因为OA＝OB＝2，所以△ABO为等边三角形．又因为∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以F为△ABO的中心，易得AF＝.（2022·辽宁卷）选修4－1：几何证明选讲13\n图1－11如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．（2022·辽宁卷）如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线图1－10与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．13\n（2022·课标全国卷）如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．图1－10已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．图1－11【解答】(1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，13\n(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.【答案】4　【解析】在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4.【2022高考真题精选】1．(2022年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若，，则的值为。【答案】【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠∠PCB，13\n∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以∽，所以，设PC=x，PB=y，则有，即，所以=。2.(2022年高考湖南卷理科10)如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________.3．（2022年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.【答案】【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交线定理知，，即，所以．13\n4．（2022年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则.ABCDO【解析】（方法一）∵易知，又由切割线定理得，∴.于是，.故所求.（方法二）连，∵易知是斜边上的高，∴由射影定理得，.故所求.5．（2022年高考北京卷理科12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。6．（2022年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。13\n【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。7.(2022年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）BC2=BF×CD。13\n【2022年高考真题精选】1．（2022广东几何证明选讲选做题15）如图4，点A，B，C是圆O上的点，且，则圆O的面积等于.13\n【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.2.（2022海南宁夏22）如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H，，F在AC上，且AE=AF。（I）证明：B，D，H，E四点共圆；（Ⅱ）证明：3．（2022辽宁22）\n已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。（I）求证：AD的延长线平分∠CDE；（II）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为，求△ABC外接圆的面积。【2022年高考真题精选】1．（2022广东，15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=。【答案】【解析】作出图如下。由切割线定理得PA2=PB·PC，∴PC=4，故填\n3．（2022江苏，21A，10分）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D。求证：ED2=EC·EB。4．（2022宁夏、海南，22，10分）（选修4—1：几何证明选讲）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。（1）证明：OM·OP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM=90°。又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°\n5.（2022海南宁夏22）选修1—4：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.（Ⅰ）证明：OM·OP=OA2；（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°【最新模拟】1．如图1，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的半径R＝________.　　解析：如图2所示，连接OA、OB，\n则∠AOB＝90°，∵AB＝4，OA＝OB，∴OA＝2，即R＝2.答案：2图32．如图3，AB、CD是圆O内的两条平行弦，BF∥AC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC＝ED＝1，PA＝2，则AC的长为________．3．如图4，已知圆O的半径为3，PAB和PCD为圆O的两条割线，且O在线段AB上，若PB＝10，PD＝8，则线段CD＝________；∠CBD＝________.图4解析：因为PA＝10－2OA＝4，PC·PD＝PA·PB＝40，所以PC＝5，CD＝PD－PC＝3，连接OC，OD，则△OCD为正三角形，所以∠COD＝60°，则∠CBD＝30°.答案：3　30°图54．如图5，△ABC的外角∠EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC＝120°，BC＝6，则线段AD的长为________．\n解析：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠BAC＝60°，又BC＝6，得AC＝2，又∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，则在Rt△ACD中可得AD＝4.答案：4图65．如图6，已知点C在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于点A，若AB＝AC，则＝________.6．如图7，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.若CD＝2，CB＝2，则由B、P、E、F四点所确定的圆的直径为________．则在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B、P、E、F四点确定的圆的直径为.答案：图87．如图8，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2，则AB＝________.\n8．如图9所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED＝3，BD＝6，则线段AE的长＝________.9．如图10，正△ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段PM＝________.解析：设PM＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA，即x·(x＋1)＝1，解得x＝.答案：10．如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.\n11．如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.答案：75°12.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.\n13．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分∠DEF.(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，\n可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.14．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.15．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，\n故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.\n17.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.18．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．\n