第50讲 用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( )A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥αC．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α 2.已知α、β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1、n2，给出下列结论：①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是( )A．①③B．①④C．②③D．②④ 3.向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )A．a∥b，b⊥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对 4.设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m等于______． 5.设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝______． 6.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)．若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＝________，y＝________，z＝______． 7.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE. 8.(2022·唐山月考)已知点A、B、C∈平面α，点P∉α，则·＝0且·＝0是·＝0的( )4\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9.若|a|＝，b＝(1，2，－2)，c＝(2，3，6)，且a⊥b，a⊥c，则a＝______________________．10.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点．(1)求证：AB1∥平面BDC1；(2)在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？并证明你的结论．4\n第50讲1．C 2.A 3.C 4.2 5.4 6. － 47．证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．由题意，得G(0，4，0)．因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，即，取y＝3，则z＝4，所以n＝(0，3，4)．由＝(－4，4，－3)，得n·＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.8．A 解析：若·＝0，·＝0，则AP⊥AB，AP⊥AC.又AB∩AC＝A，故AP⊥平面ABC，从而⊥，充分性成立；反之显然不成立，故选A.9．(－，2，)或(，－2，－)解析：设a＝(x，y，z)．因为a⊥b，所以x＋2y－2z＝0.①因为a⊥c，所以2x＋3y＋6z＝0.②因为|a|＝，所以x2＋y2＋z2＝17.③联立①②，得x＝－18z，y＝10z，代入③，得425z2＝17，z＝±.所以a＝(－，2，)或(，－2，－)．10．解析：(1)证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，如图．因为四边形BCC1B1是矩形，所以O是B1C的中点．又D是AC的中点，所以OD∥AB1.因为AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，所以AB1∥平面BDC1.(2)如图，建立空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)，A(24\n，3，0)，D(1，3，0)，＝(0，3，2)，＝(1，3，0)．假设侧棱AA1上存在一点P(2，y，0)(0≤y≤3)，使得CP⊥平面BDC1，则，即，此方程组无解，故假设不成立．所以侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥平面BDC1.4
