第54讲 两条直线的位置关系与对称问题 1.两条平行直线4x－3y＋m＝0和8x－6y＋n＝0间的距离是( )A．|m－|B．|m－n|C.D. 2.(2022·山东卷)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )A．－3或－1B．3或1C．－3或1D．－1或3 3.(2022·浙江卷)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________． 5.若原点在直线l上的射影是P(－2，1)，则直线l的方程是____________． 6.(2022·济宁期末)已知a＝(6，2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般式方程为______________． 7.已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0 9.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|.若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为__________．10.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．4\n4\n4\n第54讲1．C 2.C 3.A 4. 5.2x－y＋5＝0 6.2x－3y－9＝07．解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，此时l的方程为x＝2.②当l的斜率k存在时，设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由点到直线的距离公式得，＝2，解得k＝，所以l：3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线方程的点斜式得直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.8．A9．x＋y－5＝0解析：由已知得直线PA、直线PB关于直线x＝2对称．设M(x，y)为直线PB上任意一点，则点M关于直线x＝2对称的点为(4－x，y)，代入直线PA的方程得4－x－y＋1＝0，即x＋y－5＝0为所求直线PB的方程．10．解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，所以k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，即b＝3a－4＝－1≠0(不合题意)，所以此种情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1、k2都存在．因为k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，所以k1＝k2，即＝(1－a)．③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④则联立③④解得或，所以a、b的值分别为2和－2或和2.4
