【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.8.2两条直线的位置关系文一、选择题1．若P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)，或(2，－1)D．(2,1)，或(－1,2)解析：设P(a,5－3a)，则d＝＝＝.∴|2a－3|＝1.∴a＝2，或a＝1.∴P点坐标为(2，－1)，或(1,2)．答案：C2．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：如图，作出直线x＋y－1＝0的图象，它与x轴、y轴交点分别为(1,0)、(0,1)，直线y＝kx－1过点(0，－1)，因此，直线y＝kx－1与直线x＋y－1＝0交点在第一象限时，k＞1，选择C.答案：C3．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )A．－4B．－2C．0D．2解析：l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，a＝0.由l1∥l2，－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.答案：B4．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )A.B．－4\nC．2D．－2解析：∵l2、l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，∴l2的斜率为，故选A.答案：A5．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，所以kx－y＋4－3k＝0，由已知得，＝，∴k＝2或k＝－.∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：D6．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A．4B．3C．2D．1解析：设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．答案：A二、填空题7．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝__________.解析：根据题意知，当m＝0时，两直线不会垂直，故m≠0.因直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0的斜率分别为和－，由垂直条件得·(－)＝－1，故m＝1.答案：18．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________．解析：l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为两坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5.答案：－59．点P(0,1)在直线ax＋y－b＝0上的射影是点Q(1,0)，则直线ax－y＋b＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线方程为__________．4\n解析：由已知，有解得即ax＋y－b＝0为x－y－1＝0，设x－y－1＝0关于x＋y－1＝0对称的直线上任一点(x，y)，点(x，y)关于x＋y－1＝0的对称点(x0，y0)必在x－y－1＝0上，且则代入x－y－1＝0，得x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0三、解答题10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．(1)l′与l平行且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．解析：(1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为b，由题意可知，S＝|b|·|b|＝4，∴b＝±.∴直线l′：y＝x＋或y＝x－.(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，∴l′与l关于原点对称．任取点在l上(x0，y0)，则在l′上对称点为(x，y)．x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0.∴l′为3x＋4y＋12＝0.11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或.∴l方程为x＝2或4x－3y－5＝0.4\n(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝.12．一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)．(1)求入射光线的方程；(2)求这条光线从P到Q的长度．解析：如图所示．(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点．∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1)，即x－y＝0，由解得l与QQ′的交点M的坐标为.又∵M为QQ′的中点，由解得∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l交于点N，且P、N、Q′共线．由P(2,3)、Q′(－2，－2)，得入射光线的方程为＝，即5x－4y＋2＝0.(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|＝|NQ′|，∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝＝.即这条光线从P到Q的长度是.4
