【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.8.3圆的方程文一、选择题1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A．－1B．1C．3D．－3解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.答案：B3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0.答案：C4．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：原方程即即，或故原方程表示两个半圆．答案：D5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是( )A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5解析：设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆．圆心为(2,1)．半径r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：D6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )4\nA．5 B．10 C．15 D．20解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10，选B.答案：B二、填空题7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________．解析：方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝∈[0，]，解得m的最大值为10.答案：108．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________．解析：∵圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上．又已知圆心在2x－y－7＝0上，∴解得即圆心C(2，－3)，半径r＝|AC|＝＝，∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝59．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________．解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.答案：x2＋y2＝36三、解答题10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.(2)∵r＝＝，4\n∴当t＝∈时，rmax＝.此时圆的方程为2＋2＝.(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内，∴8t2－6t＜0，即0＜t＜.11．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0.(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．解析：由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，∵－≤2cosθ＋sinθ≤，∴1－≤2x＋y≤＋1.方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时＝1.∴b＝1±，∴1－≤2x＋y≤1＋.(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1，∴x＋y＋c的最小值为1－＋c，∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－＋c≥0，∴c的取值范围为c≥－1.12．已知动圆P与定圆B：x2＋y2＋2x－31＝0内切，且动圆P经过一定点A(，0)．(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；(2)若已知点D(0,3)，M、N在曲线E上，且＝λ，求实数λ的取值范围．解析：(1)定圆B的圆心B(－，0)，半径r＝6，∵动圆P与定圆B内切，且过A(，0)，∴|PA|＋|PB|＝6.∴动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝6，a＝3，c＝，∴b2＝a2－c2＝4.∴椭圆的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝λ，可得(x1，y1－3)＝λ(x2，y2－3)，4\n故∵M，N在动点P的轨迹上，∴消去x2得，＝1－λ2.解得y2＝(λ≠1)或λ＝1.①当λ＝1时，M与N重合，＝，满足条件．②当λ≠1时，∵|y2|≤2，∴||≤2，解得≤λ≤5，且λ≠1.综上可得λ的取值范围是.4
