【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.9.3空间点、直线、平面之间的位置关系文一、选择题1．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )答案：D2．下列命题中，正确的个数是( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三直线，那么这两条直线互相平行；⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行．A．1 B．2C．3D．4解析：①可能相等，也可能互补；③在空间中不成立，所以②④⑤正确，故选C.答案：C3．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C4．如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；6\n②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析：由于两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB，B1C1均相交，则l与AB可确定平面α，l与B1C1可确定平面β，又AB与B1C1为异面直线，∴l为平面α与平面β的交线，如图所示．GE即为l，故①正确．由于DD1过点M，DD1⊥AB，DD1⊥B1C1，BB1为AB、B1C1的公垂线，DD1∥BB1，故②正确．显然④正确．过M点有无数个平面与AB，B1C1都相交，故③错误．答案：C5．在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝a，DE＝a，FE＝a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝＝－，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.答案：C6．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1内过点P且与直线AC成50°角的直线有( )条( )6\nA．0B．1C．2D．无数解析：依题意，直线AC与平面BCC1B1所成的角为，因为直线与平面所成的角是这条直线与平面内的直线所成的角中最小的角，所以在平面BCC1B1内过点C有两条直线与直线AC成50°角，所以在平面BCC1B1内过点P亦有两条直线与直线AC成50°角，选择C.答案：C二、填空题7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为__________．解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝＝a，AE＝＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝＝＝.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.答案：8．如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．解析：还原如图，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH,3对．答案：39．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是__________．(写出所有正确结论的编号)解析：①②④对应的情况如下：6\n用反证法证明③不可能．答案：①②④三、解答题10．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．解析：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．6\n(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解析：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)方法一，由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．方法二，如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M′，∵BE綊AF，∴B为MA中点．∵BC綊AD，∴B为M′A中点．∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴C、D、F、E四点共面．12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上．(1)当C1F＝CF时，求多面体ABCFA1的体积；(2)当点F使得A1F＋BF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角．解析：(1)∵C1F＝CF，AC＝CC1＝2，6\n∴CF＝，＝.由正三棱柱知△ABC的高为且等于四棱锥B－A1ACF的高．∴＝××＝，即多面体ABCFA1的体积为.(2)将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连接A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F＋BF为最小．此时FC平行且等于A1A的一半，∴F为C1C的中点．过E作EG∥A1F交BF于G，则∠AEG就是AE与A1F所成的角或所成角的补角．过G作GH⊥BC，交BC于H，连接AH，则GH＝FC＝.又AH＝，于是在Rt△AGH中，AG＝＝.在Rt△ABA1中，AE＝.∴△AEG中，cos∠AEG＝＝＝0，∴∠AEG＝90°.故异面直线AE与A1F所成的角为90°.6
