第15讲 点、直线、平面之间的位置关系江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题．一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公式、公理、定理、性质、定义等非常熟悉．并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题．1.下列命题中，不是公理的是________．(填序号)①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：①2.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：①a∥b；②a∥α；③α∥β.其中真命题是____________．(填序号)答案：②③3.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中正确的个数有________个.答案：2解析：其中②④正确．4.已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要题型一线面平行与面面垂直的证明例1如图，在三棱锥PABC中，点E、F分别是棱PC、AC的中点．(1)求证：PA∥平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA.证明：(1)在△PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA∥EF.又PA平面BEF，EF平面BEF，所以PA∥平面BEF.-9-\n(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD平面PAB，所以PD⊥平面ABC.又BC平面ABC，所以PD⊥BC.又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD平面PAB，PB平面PAB.所以BC⊥平面PAB.又PA平面PAB，所以BC⊥PA.如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明：(1)取CE的中点G，连结FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF平面BCE，BG平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF.∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD.又CD∩DE＝D，∴BG⊥平面CDE.∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.题型二点共面与线面垂直的证明例2如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.证明：(1)在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2.因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．从而EN∥=AD，FD1∥CN.又因为AD∥=BC，所以EN∥=BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面．(2)因为GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM＝∠CFB，-9-\nBM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB＝BG·＝×＝1.因为AE∥=BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM.又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝AC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)C1E⊥平面BDE.证明：(1)如图，取BC的中点G，连结AG，FG.因为F为C1B的中点，所以FG∥C1C，FG＝C1C.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A∥C1C，A1A＝C1C且E为A1A的中点，所以FG∥EA，且FG＝EA，所以四边形AEFG是平行四边形．所以EF∥AG.因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A1A⊥BD.因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.因为BD∩EB＝B，BD平面BDE，EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.题型三直线的平行与垂直证明例3如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求证：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.-9-\n证明：(1)取线段BD的中点M，连结AM、A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM、A1M平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.而AA1平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1平面D1DCC1，CC1平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理得AA1∥BB1，故BB1∥DD1.点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.题型四立体几何中的探索性问题例4如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点．(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)M在线段PC上，PM＝tPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0，1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由．解：(1)连结PQ，则PQ⊥AD.由题意得PQ＝，SABCD＝.∵平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PQ⊥AD，PQ平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，∴VP－ABCD＝PQ·SABCD＝.(2)存在，R为BC的中点．取R为BC的中点，连结MR，DR，DM，则BQ∥DR.∵BQ平面DMR，DR平面DMR，∴BQ∥平面DMR.因此，R为BC的中点，当t∈(0，1)时，总有BQ∥平面MDR，反之也成立．1.设l是直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是________．(填序号)①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；-9-\n④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.答案：②解析：本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质．利用排除法可得②是正确的，因为l∥α，l⊥β，则α⊥β.如①：l∥α，l∥β时，则α⊥β或α∥β；③：若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ；④：若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊥β.2.(2022·辽宁卷)已知m、n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是________．(填序号)①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，nα，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.答案：②3.(2022·全国卷)已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则下列命题中正确的有________．(填序号)①α∥β，且l∥α；②α⊥β，且l⊥β；③α与β相交，且交线垂直于l；④α与β相交，且交线平行于l.答案：④4.(2022·广东卷)设l为直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.答案：②5.(2022·山东卷)如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明：(1)∵四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE＝AB，而且CD∥AB，CD＝AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH.由于DH在平面PAD内，而CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD.(2)由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC＝A，可得AB⊥平面PAC.再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC.由于MN是△PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC.由于EF为△PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC.同理可得，FG∥平面PAC.而EF和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC.∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，-9-\n故有平面EFG⊥平面EMN.6.(2022·江苏卷)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．∵E、F分别是SA、SB的中点，∴EF∥AB.又∵EF平面ABC，AB平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F，EF、FG平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF平面SAB，AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB、AF平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA平面SAB，∴BC⊥SA.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2022·南京二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DA＝DC＝2AB，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形．(1)若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.(1)解：因为OE∥平面PBC，OE平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.(3分)因为DC∥AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.所以＝.(6分)(2)证明：(证法1)取PC的中点F，连结FB、FD.因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.(8分)因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.因为DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.-9-\n设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a.在Rt△PAB中，PB＝a.在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a.因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB.在Rt△PFB中，FB＝a.在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF.(12分)由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB平面PBC，所以DF⊥平面PBC.又DF平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC.(14分)(证法2)取PD、PC的中点，分别为M、F，连结AM、FB、MF，所以MF∥DC，MF＝DC.因为DC∥AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF.(8分)在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD.因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM.因为DC∥AB，所以DC⊥AM.因为BF∥AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD.因为PD∩DC＝D，PD、DC平面PCD，所以BF⊥平面PCD.(12分)因为BF平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.(14分)1.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案：62.m、n是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n；②m⊥n，n∥β，m⊥αα∥β；③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β.其中真命题是____________．(填序号)答案：①④3.给出以下四个命题，其中真命题是____________．(填序号)①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．答案：①②④4.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：-9-\n①PA∥平面MOB；②MO∥平面PBC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是____________．(填序号)答案：④5.直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝.(1)求证：平面AB1C⊥平面B1CB；(2)求三棱锥A1AB1C的体积．(1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，则BB1⊥AB，BB1⊥BC.又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，则AB＝，则由AC2＋BC2＝AB2，可知AC⊥BC.又由BB1⊥底面ABC，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以平面AB1C⊥平面B1CB.(2)解：三棱锥A1AB1C的体积VA1AB1C＝VB1A1AC＝××1＝.(注：还有其他转换方法)6.已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图2)．(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB＝2∶1；(3)在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行平面AMC.图1 图2(1)证明：依题意知CD⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PAD.又DC平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解：由(1)知PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD.作MN⊥AB，垂足为N，则MN⊥平面ABCD，设MN＝h，-9-\n则VMABC＝S△ABC·h＝××2×1×h＝，VPABCD＝S梯ABCD·PA＝××1×1＝，要使VPDCMA∶VMACB＝2∶1，即∶＝2∶1，解得h＝，即M为PB的中点．(3)解：连结BD交AC于O.因为AB∥CD，AB＝2，CD＝1，由相似三角形易得BO＝2OD.∴O不是BD的中心．又∵M为PB的中点，∴在△PBD中，OM与PD不平行，∴OM所在直线与PD所在直线相交．又OM平面AMC，∴直线PD与平面AMC不平行．-9-
