第一篇方法篇·关键能力\n第三讲 集合与常用逻辑用语\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算，并且以集合的运算为主．试题往往与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇，试题难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主，对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国甲卷1，7集合的运算；充要条件的判断10全国乙卷2，3集合的运算；命题真假判断102020Ⅰ卷2集合的运算5Ⅱ卷1，16集合的运算；复合命题的真假判断10Ⅲ卷1，16集合的运算；命题的真假判断102019Ⅰ卷1集合的运算5Ⅱ卷1集合的运算5Ⅲ卷1集合的运算5\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国甲卷1集合的运算5全国乙卷1，3集合的运算；含有量词的命题真假判断102020Ⅰ卷1集合的运算5Ⅱ卷1，16集合的运算；复合命题的真假判断10Ⅲ卷1集合的运算52019Ⅰ卷2集合的运算5Ⅱ卷1集合的运算5Ⅲ卷1集合的运算5\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身B\n\n2．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．TD．Z【解析】因为T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}＝{t|t＝2×2n＋1，n∈Z}，所以S∩T＝T，故选C.C\n3．(2021·新高考)设集合A＝{x|-2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】因为集合A＝{x|-2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.B\n4．(2020·全国Ⅱ卷)已知集合U＝{-2，-1，0，1，2，3}，A＝{-1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{-2，3}B．{-2，2，3}C．{-2，-1，0，3}D．{-2，-1，0，2，3}【解析】由题意可得：A∪B＝{-1，0，1，2}，则∁U(A∪B)＝{-2，3}．故选A．A\n5．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6C\n6．(2021·全国卷乙卷)已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬(p∨q)【解析】由于-1≤sinx≤1，所以命题p为真命题；由于|x|≥0，所以e|x|≥1，所以命题q为真命题；所以p∧q为真命题，(¬p)∧q、p∧(¬q)、¬(p∨q)为假命题．故选A．A\n7．(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4②p1∧p2③(¬p2)∨p3④(¬p3)∨(¬p4)①③④\n【解析】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，命题p1为真命题；\n对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l，命题p4为真命题．\n综上可知，p1，p4为真命题，p2，p3为假命题，p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，(¬p2)∨p3为真命题，(¬p3)∨(¬p4)为真命题．故答案为①③④.\n(文科)1．(2021·全国卷甲卷)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝()A．{7，9}B．{5，7，9}C．{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9}B\n2．(2021·全国卷乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4}【解析】因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，所以∁U(M∪N)＝{5}，故选A．A\n3．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|-2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】因为集合A＝{x|-2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.B\n4．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|-4<x<2}，N＝{x|x2-x-6<0}，则M∩N＝()A．{x|-4<x<3}B．{x|-4<x<-2}C．{x|-2<x<2}D．{x|2<x<3}【解析】由x2-x-6<0，解得-2<x<3，所以N＝{x|-2<x<3}，又因为M＝{x|-4<x<2}，所以M∩N＝{x|-2<x<2}，故选C.C\n5．(2020·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝()A．∅B．{-3，-2，2，3}C．{-2，0，2}D．{-2，2}【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{-2，-1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<-1，x∈Z}，所以A∩B＝{2，-2}．故选D.D\n6．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3.故选B.B\n7．(2020·全国新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝()A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}【解析】A∪B＝[1，3]∪(2，4)＝[1，4)．故选C.C\n8．(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4②p1∧p2③(¬p2)∨p3④(¬p3)∨(¬p4)①③④\n【解析】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，命题p1为真命题；\n对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l，命题p4为真命题．\n综上可知，p1，p4为真命题，p2，p3为假命题，p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，(¬p2)∨p3为真命题，(¬p3)∨(¬p4)为真命题．故答案为①③④.\n1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．集合间的基本关系考点一 集合的概念与运算\n2．集合的运算\n3．常用结论(1)若已知A∩B＝∅，要注意到特殊情况：A＝∅或B＝∅；(2)若已知A⊆B时，要注意不要漏掉“A＝∅”这种情况；(3)若有限集合A有n个元素，则A的子集个数是2n，A的真子集个数是2n-1.\n1．(2020·山东省潍坊市高三上期中)已知集合A＝{x|x2-2x≥0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝()A．(-1，3)B．(0，2]C．[2，3)D．(2，3)【解析】∵A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝[2，3)．故选C.C\n2．(2020·山东省日照市高三上期末联考)若集合A＝{-2，-1，0，1，2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩B＝()A．{x|x＜-1或x＞1}B．{-2，2}C．{2}D．{0}【解析】由B中不等式解得：x＞1或x＜-1，即B＝{x|x＞1或x＜-1}，∵A＝{-2，-1，0，1，2}，∴A∩B＝{-2，2}，故选B.B\n3．(2020·山东省枣庄市高三上学期统考)已知集合A＝{x∈Z|0<x<4}，B＝{x|(x＋1)(x-2)<0}，则A∩B＝()A．(0，2)B．(-1，2)C．{0，1}D．{1}【解析】由题意，集合A＝{x∈Z|0<x<4}＝{1，2，3},B＝{x|(x＋1)(x-2)<0}＝{x|-1<x<2}，所以A∩B＝{1}.故选D.D\nC\n5．(2020·山东省九校高三上学期联考)已知集合A＝{x|2x≤1}，B＝{x|y＝lg(x-1)}，则A∩(∁RB)＝()A．∅B．(0，1)C．(-∞，1]D．(-∞，0]【解析】由题：A＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}，B＝{x|y＝lg(x-1)}＝{x|x>1}，∁RB＝{x|x≤1}，A∩(∁RB)＝(-∞，0]，故选D.D\n6．(2020·山东省临沂市高三上期末)设集合A＝{x|(x-1)(x-6)>0}，B＝{x|2-x>0}，则A∩B＝()A．{x|x>6}B．{x|1<x<2}C．{x|x<1}D．{x|2<x<6}【解析】∵A＝{x|(x-1)(x-6)>0}＝{x|x<1或x>6}，B＝{x|2-x>0}＝{x|x<2}，因此，A∩B＝{x|x<1}．故选C.C\n7．已知集合A＝{x|x2-3x-10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m-1}．若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________.m≤3\n解决集合问题的3个注意点(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．\n集合的新定义题和创新题大都以新概念和新规则为背景，依托中学数学知识，起点高、落点低，并且有些问题的信息不是直接给出的，而是要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，就读懂新概念，理解新规则，以获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，这类题考查学生获取和运用新信息的能力、继续学习的能力．考点二 集合的新定义型问题\n(山东师大附中模拟)已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足．①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M.集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i＝1，2，3)，则X1＋X2＋X3的值不可能为()A．37B．39C．48D．57A典例\n【解析】由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，X1＋X2＋X3＝8＋18＋13＝39，故排除B选项；\n当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，X1＋X2＋X3＝16＋16＋16＝48，故排除C选项；当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1＋X2＋X3＝16＋19＋22＝57，故排除D选项．∴X1＋X2＋X3的值不可能为37.\n解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．\n1．(2020·上海曹杨二中高三期末)已知集合A＝{(s，t)|1≤s≤20，1≤t≤20，s∈N，t∈N}，若B⊆A且对任意的(a，b)∈B，(x，y)∈B均有(a-x)(b-y)≤0，则B中元素个数的最大值为()A．10B．19C．30D．39D\n\nC\n\n\n3．(2020·江苏栟茶月考)定义差集A-B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为()A\n【解析】∵A-B＝{x|x∈A，且x∉B}，即A-B是集合A中的元素去掉A∩B记作集合D.如图所示∴集合C-(A-B)就是C中的元素去掉集合C∩D.故选A．\n充分条件与必要条件(1)若p⇒q且qp，则p是q的充分非必要条件．(2)若q⇒p且pq，则p是q的必要非充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若pq且qp，则p是q的非充分非必要条件．考点三 充分与必要条件的判断\n充要条件的判断方法方法解读适合题型1定义法第一步，分清条件和结论：分清哪是条件，哪是结论；第二步，找推式：判断“p⇒q”及“p⇐q”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充要条件最根本、最适用的方法\n方法解读适合题型2等价法利用p⇒q与¬q⇒¬p；q⇒p与¬p⇒¬q；p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断，常用的是逆否等价法\n\n1．(2020·高考浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B\n【解析】依题意，m，n，l是空间不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交．当m，n，l两两相交时，设m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，根据公理2可知m，n确定一个平面α，而B∈m⊂α，C∈n⊂α，根据公理1可知，直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面．综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．故选B.\n2．(2020·云南省玉溪第一中学高二期末)“x＝1”是“x2-2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】x＝1时，x2-2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2-2x＋1＝0时，即(x-1)2＝0，x＝1，故是必要的，因此是充要条件．故选A．A\nD\n4．(2020·山东省泰安市高三上期末)“a<-1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A\n\nB\nABCD\n【解析】A．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P(ξ＞4)＝1-0.79＝0.21，P(ξ≤-2)＝P(ξ＞4)＝0.21，故A正确；B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β.∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；\n\n(1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．(2)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．\n四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”有真则真，其余为假；“p∧q”有假则假，其余为真；“¬p”与“p”真假相反．考点四 命题及逻辑联结词\n全称量词与存在量词(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)\nD\n\n2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【解析】将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.C\nD\nC\n1\n6．已知命题p：∀x∈[2，4]，log2x-a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2-a＝0.若命题“p∧(¬q)”是真命题，则实数a的取值范围是______________.【解析】命题p：∀x∈[2，4]，log2x-a≥0⇒a≤1.命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2-a＝0⇒a≤-2或a≥1，由p∧(¬q)为真命题，得-2<a<1.(-2，1)\n解决命题的判定问题应注意的3点(1)判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假．\n(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可．\n明晰易错点•高考零失误\nBCD典例1易错点一：遗忘空集或区间端点\n\n\n典例2D\n【易错释疑】在求集合的交集或者并集的时候，特别是有关不等式的问题，要注意区间端点值，明确是否包含端点值．\n(2021·山东潍坊期中)m，n分别是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A典例3易错点二：混淆充分条件与必要条件的逻辑关系\n【解析】方法一：由m∥α，则存在l⊂α，由m∥l.又由m∥n可得n∥l，从而有n∥α，可知充分性成立易错：必须保证n在平面α外，反之则不一定成立，m，n可能相交，平行或异面，可知必要性不成立，所以m∥n是m∥α的充分不必要条件，故选A．\n方法二：构建长方体模型ABCD-A1B1C1D1，如图所示．记平面ABCD为平面α，D1C1所在直线为m，A1B1所在直线为n，DC所在的直线为l，则由m∥α，l⊂α，可得m∥l.又m∥n，可得n∥l，从而有n∥α，可知充分性成立．若记B1C1所在的直线为n，则此时仍有m∥α，n∥α，但此时m与n相交．可知必要性不成立，提醒：注意从长方体模型中找到反例，所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A．\n【易错释疑】本题的易错点是不能准确理解空间线面平行的判定与性质，特别是在已知m∥α和n∥α的条件下，受到思维定式的影响，错误的认为此时只有m∥n有一种可能．\n典例4易错点三：混淆全称量词和存在量词C\n【易错释疑】对于含有全称量词或存在量词命题的否定，要注意两个方面：一是量词改写；二是结论的否定．
