专题二 三角函数与平面向量第7讲 三角函数的图象与性质1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1.函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y＝－cos＝－sin2x.2.函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________．答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．3.函数y＝2sin(3x＋φ)，的一条对称轴为x＝，则φ＝________．答案：解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.4.若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．答案：解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，所以＝，解得ω＝.题型二三角函数定义及应用问题例1设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标是，求f(θ)的值；-9-\n(2)若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1)根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出f(θ)＝2)．(2)在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的值．解：由题意得cosα＝，cosβ＝，α、β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，因此tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又α＋2β∈，所以α＋2β＝.题型二三角函数的图象与解析式问题例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．(1)求f(0)的值；(2)若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．-9-\n解：(1)由题图可知A＝，∵＝－＝，∴ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴f(0)＝sin＝.(2)φ＝，f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，即f(x)的取值范围为[0，]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.题型三三角函数的性质与图象的移动问题例3把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x＝对称．(1)求m的最小值；(2)证明：当x∈时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；-9-\n(3)设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．(1)解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，所以2＋＝kπ，即m＝π(k∈Z)．因为m>0，所以m的最小值为.(2)证明：因为x∈，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在上是减函数．所以当x1、x2∈，且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.(3)解：令f(x)＝1，所以cos＝－.因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有0<ω≤.(2)f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2＋1＝2sin＋1，g(x)＝0sin＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.-9-\n已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin＝sin，即－sinωxcos＋cosωxsin＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin，整理得sinωxcos＝0.因为ω＞0，且x∈R，所以cos＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.所以f(x)＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此f＝2cos＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2)h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.-9-\n(3)当x∈时，2x－∈，∴f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，∴2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.又－π<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin.(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(3)由题意知，方程sin＝在上有两个根．∵x∈，∴2x＋∈.∴∈，∴m∈[1－3，7)．1.(2022·江西卷)设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：a≥2解析：f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.2.(2022·天津卷)函数f(x)＝sin在区间上的最小值是________．答案：－3.(2022·全国卷)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则|φ|＝________．-9-\n答案：4.(2022·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案：π解析：由f(x)在区间上具有单调性，f＝－f知，函数f(x)的对称中心为，函数f(x)的对称轴为直线x＝＝，设函数f(x)的最小正周期为T，所以T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π.5.(2022·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.所以f(α)＝－＝.(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(解法2)f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin.(1)因为0<α<，sinα＝，所以α＝.从而f(α)＝sin＝sin＝.(2)T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.6.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．-9-\n解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈，所以4α＋＝，故α＝.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx，x∈的最大值为G(A)．(1)设t＝sinx＋cosx，x∈，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2)求G(A)．解：(1)t＝sinx＋cosx＝sin.∵x∈，∴x＋∈，∴≤sin≤1，∴1≤t≤，即t的取值范围为[1，]．(3分)(另解：∵x∈，∴t＝sinx＋cosx＝.由2x∈[0，π]得0≤sin2x≤1，∴1≤t≤)∵t＝sinx＋cosx，∴sinxcosx＝，(5分)∴m(t)＝a·－t＝at2－t－a，t∈[1，]，a>0.(7分)(2)由二次函数的图象与性质得：①当<，即a>2(－1)时，G(A)＝m()＝a－；(10分)②当≥，即0<a≤2(－1)时，G(A)＝m(1)＝－.(13分)∴G(A)＝(14分)1.若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．答案：－8解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝，得t＝时y取最大值－8.2.已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，求：-9-\n(1)f的值；(2)f(x)的最大值和最小值．解：(1)f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.3.已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2的取值范围．解：y＝cos2A＋cos2＝＋＝1＋＋＝1＋＝1＋cos.∵A为三角形内角，∴0＜A＜π，∴－1≤cos≤1，∴y＝cos2A＋cos2的取值范围是[，]．4.设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：(1)f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.(2)g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1.列表如下：t－g′(t)＋0－0＋g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g＝2，极大值为g＝4.-9-
