第1练 小集合，大功能题型一 单独命题独立考查例1 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．破题切入点 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．答案 10解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.题型二 与函数定义域、值域综合考查例2 设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．破题切入点 弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域，如何求其定义域或值域．答案 (－∞，－1]∪(0,1)解析 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}．∁RA＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，∁RB＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A∩∁RB)∪(B∩∁RA)＝(0,1)∪(－∞，－1]．题型三 与不等式综合考查例3 若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是________．破题切入点 弄清“集合”代表不等式的解集，“A∩B≠∅”说明两个集合有公共元素．答案 a>－1解析 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－2<x<a}，如图所示：∵A∩B≠∅，∴a>－1.总结提高 (1)集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富．(2)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(3)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、Venn图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝________.-4-\n答案 (1,2]解析 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝________.答案 －或0或1解析 依题意可得A∩B＝B⇔B⊆A.因为集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－；当x＝1时，a＝1；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0.所以a的取值为－或0或1.3．设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>－1}，结合数轴易知m>－1.4．(2022·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝________.答案 {2}解析 因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，所以∁UA＝{x∈N|2≤x<}，故∁UA＝{2}．5．已知M＝{y|y＝2x}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，则M∩N中元素个数为________．答案 0解析 集合M是数集，集合N是点集，故其交集中元素的个数为0.6．(2022·徐州模拟)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－3x－4≤0}，则(∁RS)∩(∁RT)＝________.答案 (－∞，－1)解析 因为T＝{x|－1≤x≤4}，所以(∁RS)∩(∁RT)＝∁R(S∪T)＝(－∞，－1)．7．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.答案 4解析 当a＝0时，显然不成立；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.8．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．答案 3解析 A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.9．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}．若A⊆B，则实数m的值为________．答案 1解析 ∵A⊆B，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍)．由m2＝2m－1得m＝1.经检验m＝1时符合题意．-4-\n10．对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和为________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案 (1)2 (2)17解析 (1)由题意，可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，所以前3项和为1＋0＋1＝2.(2)由题意，可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，则P＝{a1，a3，a5，…，a99}，有50个元素．即集合P中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，即这些元素依次取自集合E中的项a2n－1(1≤n≤50，n∈N*)．Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1，…，1，则Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}，有34个元素．即集合Q中的元素的下标依次构成以1为首项，3为公差的等差数列，即这些元素依次取自集合E中的项a3n－2(1≤n≤34，n∈N*)．而P∩Q中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，所以这些元素的下标依次构成首项为1，公差为2×3＝6的等差数列，即这些元素依次取自集合E中的项a6n－5，由1≤6n－5≤100，解得1≤n≤，又n∈N*，所以1≤n≤17，即P∩Q的元素个数为17.11．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解 (1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，又A＝{x|－1<x≤5}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，故4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．因此实数m的值为8.-4-\n12．(2022·泰州模拟)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(∁RA)∩B；(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解 (1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}．(2)因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<3或x≥7}．所以(∁RA)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(3)如图，当a>3时，A∩C≠∅.-4-
