阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·武汉市武昌区调研)已知i是虚数单位，则＝( )A．－i B．－iC．＋iD．＋i[答案] C[解析] ＝＝＝＋i.2．(文)(2022·济南模拟)复数z＝在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] z＝＝＝＝＋，所以复数z对应的点为(，)，在第一象限．(理)(2022·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] 因为＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以点P(a，b)在第一象限．3．(文)(2022·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )A．1B．2C．3D．4[答案] B-10-\n[解析] 本题考查了程序框图的相关概念．S1：n＝1,21>12→是，S2：n＝2,22>22→否，输出n＝2.关键是理解赋值语句n＋1及条件2n>n2.(理)(2022·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )A．18B．20C．21D．40[答案] B[解析] 本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝20>15，故输出S＝20.4．若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为( )A．n≤15B．n≤6C．n≤7D．n≤8[答案] B[解析] 由程序框图可知这是计算S＝0＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2的程序，当S＝2n＋1－2＝126时，即2n＋1＝128，解得n＝6，此时n＝n＋1＝7，不满足条件，所以选B．5．(文)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c-10-\n＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A．4,6,1,7B．7,6,1,4C．6,4,1,7D．1,6,4,7[答案] C[解析] 因加密规则可得⇒.故明文为6,4,1,7.(理)设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a，b，c均为正数)，由综合法得M的取值范围是( )A．[0，]B．[，1)C．[1,8]D．[8，＋∞)[答案] D[解析] 由a＋b＋c＝1，M＝(＋)(＋)(＋)≥8(当且仅当a＝b＝c时取等号．)6．(2022·济南模拟)下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解集可表示为{1,1}．其中真命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析] ①假命题，集合N中最小的数是0；②假命题，如a＝时，命题不成立；③假命题，如a＝0，b＝1，则a＋b＝1；④假命题，{1,1}与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为{1}．7．(文)设z＝1－i(i是虚数单位)，则复数＋i2的虚部是( )A．1B．－1C．iD．－i[答案] A[解析] 因为z＝1－i(i是虚数单位)，所以复数＋i2＝＋i2＝1＋i－1＝i，所以复数＋i2的虚部是1.(理)设复数z＝1＋bi(b∈R)且|z|＝2，则复数z的虚部为( )A．B．±C．±1D．±i[答案] B[解析] z＝1＋bi，且|z|＝2，即1＋b2＝4，解得b＝±.8．(文)已知M是ex＋e－x的最小值，N＝，则下图所示程序框图输出的S为( )-10-\nA．2B．1C．D．0[答案] A[解析] ∵ex＋e－x≥2＝2，∴M＝2，N＝＝tan45°＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较大值，故输出的值为2.(理)已知函数y＝与x＝1，x轴和x＝e所围成的图形的面积为M，N＝，则程序框图输出的S为( )A．1B．2C．D．0[答案] C[解析] 因为2N＝＝tan45°＝1，所以N＝，M＝dx＝lnx|＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较小值，故输出的值为.9．(2022·新课标Ⅱ)执行下图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )-10-\nA．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 本题考查程序框图的基础知识．x＝2，t＝2，变量变化情况如下：MSk131252273故选D．10．(文)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则＋的最大值为( )A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析] 因为ax＝by＝2，所以x＝loga2，y＝logb2，所以＋＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log2()2＝2，当且仅当a2＝b＝2时取等号．(理)定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)<0，若x1<x2，且x1＋x2>3，则有( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不确定[答案] B[解析] 因为函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的对称轴为x＝.又因为(x－)f′(x)<0，所以x<时，f′(x)>0，x>时，f′(x)<0，所以函数y＝f(x)在(－∞，]上单调递增；在[，＋∞)上单调递减．又因为x1<x2，且x1＋x2>3，所以3－x2<x1<x2，且x2∈(-10-\n，＋∞)，观察图像，得f(x1)>f(x2)．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)(2022·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了复数乘法、复数相等的知识．(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，x＝2.(理)(2022·北京高考)复数()2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算．复数＝＝＝i，故()2＝i2＝－1.12．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为________．[答案] [解析] 复平面上复数z对应的点到原点的距离就是它的模，而||＝＝，本题不需要把复数化简为a＋bi(a，b∈R)形式．13．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________．[答案] 10[解析] 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k≤10.14．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋-10-\n×＝________.[答案] 1－[解析] 由已知中的等式：×＝1－×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.15．(2022·温州适应性测试)已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是____________________________________；(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝cos·coscos，…，前n项和Sn＝，则n＝________.[答案] (1)cos·cos·…·cos＝(n∈N*) (2)10[解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为cos·cos·…·cos＝(n∈N*)．(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，∴n＝10.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i；(1)与复2－12i相等？(2)与复数12＋16i互为共轭复数？(3)对应的点在x轴上方？[解析] (1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.-10-\n17．(本小题满分12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？[解析] (1)设电视广告播放量为每天i次时，该产品的销售量为Si(0≤i≤n，i∈N)．由题意，Si＝于是当i＝n时，Sn＝b＋(＋＋…＋)＝b(2－)(n∈N)．所以，该产品每天销售量S(件)与电视广告播放量n(次/天)的函数关系式为S＝b(2－)，n∈N.(2)由题意，有b(2－)≥1.9b⇒2n≥10⇒4(n∈N*)．所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天广告的播放量至少需4次．18．(本小题满分12分)求证关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.[分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a<0和0<a≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.[证明] 充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程有一个负根，符合题意．当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且<0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负或两个负根．则<0或.解得a<0或0<a≤1.综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根则a≤1.故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.19．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m取何值时．(1)z是纯虚数．(2)z是实数．(3)z对应的点位于复平面的第二象限．-10-\n[解析] (1)由题意知解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．(2)由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0，所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．(3)由即解得：－1<m<1－或1＋<m<3.所以当－1<m<1－或1＋<m<3时，z对应的点位于复平面的第二象限．20．(本小题满分13分)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析] A、B、C成等差数列．证明如下：∵＋＝，∴＋＝3.∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－aC．在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°.∴A、B、C成等差数列．21．(本小题满分14分)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列；(3)(理)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．[解析] (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，即an＋2＝4an＋1－4an，变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn.由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．-10-\n(2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，由(1)知bn＝3·2n－1，又cn＝.∴cn＋1－cn＝－＝＝.将bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列．(3)由(2)得：c1＝＝，故cn＝n－.∵cn＝n－＝(3n－1)，∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1,2，…)．当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.由于S1＝a1＝1也适合于此公式，所以{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)·2n－1＋2.-10-
