专题能力训练6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.f(x)=-1x+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>14,则f(x)可以是( )A.f(x)=2x-12B.f(x)=-x2+x-14C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是( )4.已知M是函数f(x)=e-2|x-1|+2sinπx-12在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M的值为( )A.4B.68\nC.8D.105.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=lnx+2,则函数y=f(x)在区间(-2,4]上的零点个数是( )A.7B.8C.9D.106.(2022全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]上的零点个数为 . 7.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为 . 8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款 元. 9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.8\n10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.二、思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m,n,则m+n=( )A.18B.16C.14D.1212.已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.513.设函数f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1.(1)若a=1,则f(x)的最小值为 ; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 . 8\n14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=10.8-130x2,0<x≤10,108x-10003x2,x>10.(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2000q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?8\n专题能力训练6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.B 解析由题意得f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=12>0,所以f(x)=-1x+log2x的零点落在区间(1,2)内.2.C 解析依题意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,则x2∈14,12.若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|>14,因此选C.3.B 解析设AD长为xcm,则CD长为(16-x)cm,又因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,则矩形ABCD的面积S=x(16-x).当0<a≤8时,当且仅当x=8时,S=64,当8<a<12时,S=a(16-a),即f(a)=64,0<a≤8,a(16-a),8<a<12,画出分段函数图形可得其形状与选项B接近,故选B.4.C 解析因为f(x)=e-2|x-1|+2sinπx-12=e-2|x-1|-2cosπx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cosπx∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cosπx有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.C 解析由函数f(x)是奇函数且满足f(2-x)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2k(k∈Z)成轴对称,关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称.当0<x≤1时,令f(x)=lnx+2=0,得x=1e2,由此得y=f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为-2+1e2,-1e2,0,1e2,2-1e2,2,2+1e2,-1e2+4,4,共9个零点.故选C.6.3 解析令f(x)=cos3x+π6=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.7.f(a)<f(1)<f(b) 解析由题意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=1x+1>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).8\n综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).8.520 解析设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=x,0<x≤200,0.9x,200<x≤500,500×0.9+0.7(x-500),x>500,整理,得y=x,0<x≤200,0.9x,200<x≤500,100+0.7x,x>500.∵0.9×200=180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.9.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,因为|x|≥0,所以0<12|x|≤1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±2.因为2x>0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当c<v≤10时,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0<v≤c,5(10-3c)v+15,c<v≤10.①当0<c≤103时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-3c2.②当103<c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v=c时,ymin=50c.8\n二、思维提升训练11.A 解析由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A.12.A 解析因为f(x)=2+x,x<0,2-x,0≤x≤2,(x-2)2,x>2,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),0≤2-x≤2,(2-x-2)2,2-x>2⇒f(2-x)=x2,x<0,x,0≤x≤2,4-x,x>2,f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0≤x≤2,x2-5x+8,x>2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0≤x≤2,x2-5x+5,x>2.其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.(1)-1 (2)12,1∪[2,+∞) 解析(1)当a=1时,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1,当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.(2)若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1,2a≥1.故12≤a<1.若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.8\n综上,a的取值范围为12,1∪[2,+∞).14.解(1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-x330-10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-10003x-2.7x.故W=8.1x-x330-10,0<x≤10,98-10003x-2.7x,x>10.(2)①当0<x≤10时,由W'=8.1-x210=0,得x=9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x=9时,W取得最大值,即Wmax=8.1×9-130×93-10=38.6.②当x>10时,W=98-10003x+2.7x≤98-210003x×2.7x=38,当且仅当10003x=2.7x,即x=1009时,W取得最大值38.综合①②知:当x=9时,W取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000q-sq(q≥0).因为w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s,所以当q=1000s2时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=1000s2t.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=1000s2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=10002s-2×10003s4.又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5,令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最大净收入.8
